פונקציות יצירת הסתברות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| discrete distribution/dɪˈskriːt ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | התפלגות דיסקרטית |
| probability generating function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdʒenəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | פונקציית יצירת הסתברות |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | מקדם |
| variance/ˈveərɪəns/ | שונות |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | גזירה |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | בלתי תלויים |
חלוקה בפונקציה אחת
- חלוקה דיסקרטית היא רשימת הסתברויות — קשה לעבוד עליה.
- פונקציית יצירת הסתברויות (PGF) אורזת את כל הרשימה לפונקציה מסודרת אחת, וממירה סכומי הסתברות מורכבים לחישובים קלים באנליזה מתמטית.
מעבדת פונקציית יצירת הסתברות
G(x) = p0 + p1 x + p2 x^2 + ...
שנה ב-x וראה כיצד PGF מאחסן סיכומי הסתברות כחזקות של x.
הגדרת PGF
- עבור משתנה דיסקרטי $X$ המקבל ערכים $0, 1, 2, \dots$:
- המקדם של $t^x$ הוא בדיוק $P(X = x)$ — הפונקציה מקודדת את החלוקה.
פונקציית יצירת הסתברויות מאחסנת את כל ההסתברויות כמקדמים
פונקציית יצירת ההסתברות של X מוגדרת כ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
G(t) = E(tˣ) = Σ P(X=x) tˣ.
ממוצע ושונות ממشت者们
- גזרו והערכו ב-$t = 1$:
דוגמה מפורטת. $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$. אז $G'(t) = 0.3 + 0.4t$, ולכן $E(X) = G'(1) = 0.3 + 0.4 = 0.7$.
ל-X יש G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t². מכיוון ש-E(X) = G′(1) ו-G′(t) = 0.3 + 0.4t, מהי E(X)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
G'(1) = 0.3 + 0.4(1) = 0.7.
הממוצע נמצא מפונקציית ה-PGF באמצעות E(X) = G′(______).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
E(X) = G'(1).
סכומים של משתנים בלתי תלויים
- התכונה היחידה והשימושית ביותר: פונקציית יצירת המומנטים (PGF) של סכום משתנים עצמאיים היא ה-מכפלה של פונקציות היצירה שלהם:
- דבר זה הופך את חיבור משתנים עצמאיים (למשל, סכום מספר קוביות) לקל כמעט לחלוטין.
לכל פונקציית PGF תקפה, מהי הערך של G(1)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
G(1) = Σ P(X=x) = 1, מכיוון שהסתברויות מסכמות ל-1.
פונקציית ה-PGF של סכום של שני משתנים עצמאיים היא מכפלת פונקציות ה-PGF שלהם.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
G_{X+Y}(t) = G_X(t) G_Y(t) עבור X ו-Y עצמאיים.
ודאו שזוהי PGF תקפה
$G(1)$ חייב להיות שווה ל-1. מכיוון ש-$G(1) = \sum P(X = x)$, כל PGF תקפה תמיד נותנת $G(1) = 1$ — בדיקה מהירה לפני הנגזרת.
הבנתך מושלמת
- PGF: $G(t) = E(t^X) = \sum P(X=x)\,t^x$ (וגם $G(1) = 1$)
- $E(X) = G'(1)$; $\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - (G'(1))^2$
- ה-PGF של סכום משתנים עצמאיים היא ה-מכפלה של פונקציות היצירה שלהם