הסקה באמצעות התפלגות נורמל והתפלגות t
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| sample/ˈsæmpl/ | דוגמה |
| distribution/ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | התפלגות |
| variance/ˈveərɪəns/ | שונות |
| tail/teɪl/ | זנב |
| confidence interval/ˈkɒnfɪdəns ˈɪntəvl/ | מרווח ביטחון |
| degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/ | דרגות חופש |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | שגיאה סטנדרטית |
| paired/peəd/ | זוגי |
| pooled estimate/puːld ˈestɪmət/ | הערכה משולבת |
דגימות קטנות, אי-ודאות כנה
- עם דגימה ענקית ניתן להשתמש בחלוקה הנורמלית. אך עם דגימה קטנה מאוד, למשל 8 מדידות ושטיח לא ידוע, החלוקה הנורמלית מאבדת את התחזקות שלה.
- ויליאם גוסט, שהיה בייחור בג'ינס, המציא את החלוקה-$t$ כדי להתמודד בדיוק עם זה — דגימות קטנות עם שוני סטנדרטי לא ידוע.
מתי להשתמש בחלוקת t
- השתמש בחלוקת-$t$ כאשר הדגימה קטנה ושוני האוכלוסייה לא ידוע (אתה מעריך אותו באמצעות ה-$s$** של הדגימה**).
- היא בעלת צורה פעמון כמו הנורמלית אך עם זנבות כבדים יותר — רחבה יותר, כדי לאפשר את אי-הוודאות הנוספת.
החלוקת-t היא בעלת צורת פעמון כמו הנורמלית אך עם זנבות כבדים יותר; ככל שהדגימה גדלה, היא מתקרבת לחלוקה הנורמלית.
הסקה ועקומה נורמלית
P(Z < z)
מבחנים וinterval קוראים שטחים מתחת לעקומה הנורמלית — הזז z כדי למצוא אותם.
משתמשים בהתפלגות t (ובעוד נורמל) כאשר:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n קטן עם σ לא ידוע → הערכה באמצעות s שימוש ב-t.
להתפלגות t יש זנבות כבדים יותר בהשוואה להתפלגות הנורמלית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זנבות כבדים משקפים את אי-הוודאות הנוספת מהערכת השונות; t → נורמל ככל ש-n גדל.
מרווח סמך לתווכן
- מרווח סמך לתווכן האוכלוסייה:
- $t$ מגיע מטבלאות ה-$t$ עם $n - 1$ דרגות חופש; $\dfrac{s}{\sqrt n}$ הוא השגיאה הסטנדרטית.
לדוגמה אחת בגודל n = 10, כמה דרגות חופש משתמש הערך t?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
דרגות חופש = n − 1 = 9.
כמות ה-s/√n נקראת השגיאה הסטנדרטית ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
השגיאה הסטנדרטית של הממוצע היא s/√n.
דוגמה מפורשת
- לדגימה של $n = 10$ יש $s = 4$; עבור 95% עם 9 דרגות חופש, $t = 2.262$.
- שול $= t\dfrac{s}{\sqrt n} = 2.262 \times \dfrac{4}{\sqrt{10}} = 2.86$ (2 dp).
לחלוקת-t יש פס נמוך וזנבות כבדים יותר מאשר לחלוקה הנורמלית
דוגמה n = 10 יש לה s = 4. עם t = 2.262, מהו שגיאת הסמך t × s/√n? (2 ספרות אחרי הנקודה)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2.262 × 4/√10 = 2.262 × 1.265 = 2.86.
השוואה בין שתי אוכלוסיות
- מבחן t ל-2-דגימה או זוגי $t$ משווה שתי אוכלוסיות.
- כאשר מניחים שהשתיים חולקות וריאנס, משלבים אותן להערכת ממוצע משולב של $s^2$.
דרגות חופש, לא $n$. הערך $t$-value נסמך על $n - 1$ דרגות חופש, ולא על $n$. קריאת שורת טבלה שגויה היא הטעות הנפוצה ביותר.
- לדגימה קטנה, סמך מבחן הנחות על התפלגות ה-$t$: מבחן t ל-2-דגימה או מבחן t לדגימה זוגית.
הבנתך מושלמת
- דגימה קטנה + וריאנס לא ידוע → השתמש ב-התפלגות $t$ ($n-1$ דרגות חופש)
- CI לערך הממוצע: $\bar{x} \pm t\dfrac{s}{\sqrt{n}}$, עם שגיאה סטנדרטית $\dfrac{s}{\sqrt n}$
- השווה שתי אוכלוסיות באמצעות מבחן t ל-2-דגימה או זוגי $t$ (שלב את השונות כאשר היא משותפת)