תנועת פרוגטייל
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| horizontal/ˌhɒrɪˈzɒntl/ | אופקי |
| vertical/ˈvɜːtɪkl/ | אנכי |
| gravity/ˈɡrævɪti/ | כובד |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | גוף זורק |
| parabola/pəˈræbələ/ | פרבולה |
| range/reɪndʒ/ | טווח |
| greatest height/ˈɡreɪtɪst haɪt/ | גובה מקסימלי |
בעיית התותחן
- לירות כדור בזווית והוא יעבור בקשת חלקה וינחת. היכן, וכמה גבוה?
- תובנתו של גלילאו: לבחון את התנועה האופקית והאנכית באופן מלא נפרד—הן משתפות רק בשעון.
שתי תנועות עצמאיות
- שוגר במהירות $u$ ובזווית $\alpha$:
- אופקי: מהירות קבועה $u\cos\alpha$ (אין כוח בצדדים).
- אנכי: כבידה בלבד, תאוצה $g$ כלפי מטה.
זרמי המים עוקבים אחר מסילות פרבוליות, תנועת פרוקטיל קלאסית תחת כבידה
שחרור פרוגטייל
שחרר הכדור, ולאחר מכן שינוי הזווית והמהירות. התנועה האופקית היא אחידה בעוד שהכבידה מושכת אותו למטה — יחד הם מתאר们 פרבולה. מצאו את הזווית לקליטת טווח מקסימלית, ונסו את הירח.
לאורך המסלול, מהירות האופקית של גוף זורק (בהתעלמות מעיגוי האוויר):
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אין כוח אופקי, ולכן u cos α נשמר קבוע לאורך כל המסלול.
המהירות ההתחלתית האופקית של גוף זורק במהירות u ובזווית α היא u ______ α.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המרכיב האופקי = u cos α; האנכי = u sin α.
הפרבולה
- השמת $t$ מניבה $y$ כפונקציה ריבועית ב$x$—כלומר המסילה היא פרבולה.
המהירות האופקית נשארת קבועה; הכבידה מכופפת את התנועה האנכית לפרבולה.
מסלול גוף זורק (ללא עיגוי אוויר) הוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ביטול t מניח כי y היא פונקציה ריבועית ב-x — פרבולה.
הטווח והגובה המקסימלי
- בנקודת הפסגה, המהירות האנכית היא אפס לרגע. התוצאות המרכזיות:
דוגמא פותרת. $u = 20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, $\alpha = 30^\circ$, $g = 10$. הגובה המקסימלי $= \dfrac{400 \times 0.25}{20} = 5\ \text{m}$.
כדור משוגע במהירות u = 20 מ"ש בזווית 30°. באמצעות הנוסחה לגובה מקסימלי h = u²sin²α/(2g) כאשר g = 10, מצאו את הגובה המקסימלי (במטר).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
400 × sin²30° / 20 = 400 × 0.25 / 20 = 5 מ'.
באיזה זווית ירידה (מעלות) הטווח הוא הגדול ביותר?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הטווח ∝ sin 2α, which is largest when 2α = 90°, i.e. α = 45°.
נקודה הגבוהה ביותר במסלול, המרכיב האנכי של המהירות הוא אפס.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המהירות האנכית קטנה לאפס בראש המסלול, ואז הופכת לשלילית (כלפי מטה).
מלכודת נפוצה
הטווח מקסימום ב-$45^\circ$, לא ב-$90^\circ$. $\sin 2\alpha$ מגיע לשיא כאשר $2\alpha = 90^\circ$. ירי ישר כלפי מעלה נותן טווח אפס — כל המהירות הופכת לגובה.
- ביטול הזמן מניב את המשוואה הקרטזית של המסלול; כל המסלולים נמצאים מתחת ל-פרבולה גבולית.
הבנתך מושלמת
- פירוק לרכיבים אופקיים ($u\cos\alpha$, קבוע) ו-אנכיים ($u\sin\alpha$, כבידה)
- המסלול הוא פרבולה
- הטווח $= \dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ (מקסימום ב-$45^\circ$); הגובה המקסימלי $= \dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$