אינטגרציה (מתמטיקה נוספת 2)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | פונקציה קדומה |
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | צורה סטנדרטית |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | הצבה |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | היפרבולי |
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | טריגונומטרית |
| surd/sɜːd/ | שורש רדיקלי |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | נוסחת הפחתה |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | אורך קשת |
אינטגרלים שמגיבים בחזרה
- חלק מאינטגרלים אין להם פונקציה אנטי-גזירה אופיינית – עד שתזהה את הצורה הסטנדרטית או את ההצבה הנכונה.
- Further Pure 2 מספק לך ערכת כלים: אינטגרלים סטנדרטיים של טריגונומטריה הפוכה, הצבות טריגונומטריות/היפרבוליות ונוסחות ירידה.
אינטגרלים סטנדרטיים
- שני תוצאות ששווה לשנן:
- התאם את האינטגרל לצורה, קרא את $a$, וכתוב את התשובה.
אינטגרל מוגדר מדוד את השטח מתחת לעקומה
השטח תחת העקומה
שטח = ∫ f(x) dx
כל אינטגרל מודד את השטח תחת העקומה — גרור את הגבולות.
מהו ∫ 1/(a² + x²) dx?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי האינטגרל הסטנדרטי של טנג'נס הפוך.
מהו ∫ 1/√(4 − x²) dx?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עבור a = 2, ∫1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) = sin⁻¹(x/2) + C.
התאם כל אינטגרל לתוצאתו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השניים הראשונים הם הצורות הסטנדרטיות של פונקציות טריגונומטריות הפוכות; ∫1/x dx = ln|x| + C.
החלפה
- הצבה טריגונומטרית ($x = a\sin\theta$ או $x = a\tan\theta$) הופכת מכנה שכולל שורש או ביטוי ריבועי לדבר פשוט.
- הצבה היפרבולית ($x = a\sinh u$) מטפלת ב$\sqrt{a^2 + x^2}$.
דוגמה פתורה. $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$. כאן $a^2 = 9$, ולכן $a = 3$: התשובה היא $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$.
ב-∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C, מהו ערך a?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
a² = 9 ולכן a = 3; האינטגרל הוא (1/3)tan⁻¹(x/3) + C.
נוסחות הפחתה
- נוסחת הפחתה מקשרת אינטגרל $I_n$ לאינטגרל נמוך יותר $I_{n-1}$ (או $I_{n-2}$).
- יש להשתמש בה חוזר ונשנה כדי לרדת מטה למקרה בסיסי שניתן לשלוט בו באינטגרציה ישירה.
אל תאבדו את הגבולות. עבור אינטגרל קבוע, האיבר הגבולי בנוסחת ההפחתה מחושב בגבולות בכל פעם — זהו מקום נפוץ לאובדן סימן או גורם.
נוסחת ירידה מקשרת בין אינטגרל Iₙ לאינטגרל Iₙ₋₁ כך שתוכל להמשיך צעד אחר צעד.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נוסחאות ירידה מבטאות אינטגרל עם אינדקס גבוה יותר באמצעות אינטגרל בעל אינדקס נמוך יותר.
יישומים
- אינטגרציה מודדת גם את העצמים של הכ curves עצמם:
- אורך קשת: $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- שטח פני השטח של סתרום: $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- יש לבצע אינטגרציה באמצעות הצבות טריגונומטריות, פונקציות היפרבוליות והשלמת ריבוע במכנה.
אורך קשת הוא האינטגרל של √(1 + (______)²) dx.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אורך קשת s = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx.
הבנתך מושלמת
- $\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
- השתמשו בהצבה טריגו/היפרבולית לשורשים ולמכנים ריבועיים.
- נוסחת הרדוקציה מורידה את $I_n$ ל-$I_{n-1}$; אינטגרציה מספקת גם אורך קשת ו-שטח פני שטח