פונקציות היפרבוליות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| catenary/kæˈtiːnəri/ | קטנרית |
| hyperbolic function/ˌhaɪpəˈbɒlɪk ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה היפרבולית |
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | אקספוננציאלית |
| identity/aɪˈdentɪti/ | זהות |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | גזירה |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | הפוך |
העקומות התלויות בשרשראות
- שרשרת תלויה יוצרת עקומה קטנריית — לא פרבולה, אלא הגרף של $\cosh x$.
- פונקציות היפרבוליות בנויות מחזיתיות ומופיעות בכל מקום: בגשרי תלייה, בכבלים חשמליים ואף בצורת היקום בתורת היחסות הכללית.
הגדרות
- בנויות מפונקציית החזית:
דוגמה מפורטת. $\cosh 0 = \dfrac{e^0 + e^0}{2} = \dfrac{2}{2} = 1$. $\sinh 0 = \dfrac{1 - 1}{2} = 0$. לכן הקטנרייה עוברת דרך $(0, 1)$, ולא דרך הראשית.
cosh ו-sinh הם הממוצע והחצי-הפרש של e^x ו-e^-x
פונקציות היפרבוליות
y = a cosh(x)
cosh הוא הקטנריה (שרשרת תלויה) — פונקציה זוגית, עם מינימום בנקודה (0, a).
בהשתמשנו בזהות cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2, מהו ערך cosh 0?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cosh 0 = (e⁰ + e⁰)/2 = (1 + 1)/2 = 1.
בהשתמשנו בזהות sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2, מהו ערך sinh 0?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sinh 0 = (1 − 1)/2 = 0.
זהויות מפתח
- זהות ראשית: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (להשוות עם $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$).
- חיבור: $\sinh(A + B) = \sinh A \cosh B + \cosh A \sinh B$.
סימן מינוס, לא פלוס. הזויות היא $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ (מינוס), לא $\cosh^2 x + \sinh^2 x = 1$. זוהי ההבדל המרכזי מזויות טריגונומטריות.
כבל תלוי יוצר קטנרייה, עקומת הקוסין האיפרבולי y = a cosh(x/a)
עבור כל x, מה שווה ביטוי cosh²x − sinh²x?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הזהות ההיפרבולית היא cosh²x − sinh²x = 1.
זהות ה-cosh²x + sinh²x = 1 אינה נכונה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הזהות הנכונה היא cosh²x − sinh²x = 1 (מינוס, לא פלוס).
נגזרות
- $\dfrac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$, $\quad\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$ (ללא סימן מינוס!).
- $\dfrac{d}{dx}\tanh x = \text{sech}^2 x$.
הנגזרת של sinh x היא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
d/dx(sinh x) = cosh x (ללא סימן מינוס, בניגוד לגזירה טריגונומטרית d/dx(sin x) = cos x).
הגזירה של cosh x היא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
d/dx(cosh x) = sinh x (ללא סימן מינוס, בניגוד ל-d/dx(cos x) = −sin x).
פונקציות אינברס איפרבוליות
- צורות אינברס הן לוגריתמיות:
- $\sinh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$
- $\cosh^{-1}x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ עבור $x \geq 1$.
הבנתך מושלמת
- $\cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
- זהות מפתח: $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- פונקציות היפרבוליות הפוכות הן לוגריתמיות