ווקטורים (מתמטיקה נוספת 1)
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| plane/pleɪn/ | מישור |
| skew/skjuː/ | מוטל |
| vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/ | כפל וקטורי |
| normal vector/ˈnɔːml ˈvektə/ | וקטור נורמלי |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ניצב |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | מקבילית |
| anti-commutative/ˈænti ˈkɒmjuːtətɪv/ | לא-קומוטטיבי |
המתמטיקה של מרחב 3D
- כיצד מחשבים את המרחק מנקודה למישור? את הזווית בין משטחים? את הדרך הקצרה ביותר בין ישרים זרועים?
- מישורים ומכפלה וקטורית מספקים את הכלים לפתור בעיות אלו — חיוניים להנדסה, ארכיטקטורה וגרפיקת מחשב.
משוואות מישורים
- מישור ניתן לתיאור בכמה צורות:
הוקטור הנורמלי n מאונך למישור; הצורה המכפלה הסקלרית היא n·r = d.
- קרטזי: $ax + by + cz = d$
- וקטורית: $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$ (כאשר $\mathbf{n}$ הוא וקטור הנורמלי)
- פרמטרית: $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$
דוגמה מפורשת. למישור יש נורמל $\mathbf{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ ועובר דרך $(1, 0, 2)$. משוואה: $2x - y + 3z = 2(1) - 0 + 3(2) = 8$.
ווקטורים
a · b = |a||b|cos θ
הכפלה נקודתית היא אפס בדיוק כאשר שני וקטורים אנכיים.
כפלות סקאלריות ווקטוריות יכולות למצוא את המרחק הקצר ביותר בין שתי קווים זרים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מוצרים אלו מאפשרים לחשב מרחקים, זוויות וצמתים ב3D, כולל מרחקי קווים אלכסוניים.
למשטח יש המשוואה 2x − y + 3z = 8. הווקטור הנורמלי בעל רכיבים (2, −1, ?). מצא את הרכיב החסר.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
המקדמים של x, y, z ב-mathax + by + cz = d נותנים את הווקטור הנורמלי (a, b, c) = (2, −1, 3).
המכפלה הווקטורית (מכפלה צולבת)
- המכפלה הווקטורית $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\,\hat{\mathbf{n}}$ נותנת וקטור המאונך לשני.
- האורך שלו שווה לשטח המקבילית שנוצרה על ידי $\mathbf{a}$ ו$\mathbf{b}$.
הסדר חשוב. $\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -\mathbf{b}\times\mathbf{a}$. המכפלה הווקטורית היא אנטי-קומטטיבית — שינוי הסדר הופך את הכיוון.
כוחות כמו רוח ומים הם וקטורים, עם גודל וכיוון גם יחד
הכפלה וקטורית a × b נותנת וקטור שהוא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
a × b אנכי לשני הווקטורים; אורכו הוא |a||b|sin θ.
הגודל |a × b| שווה ל:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
|a × b| = |a||b|sin θ, שהיא שטח המצולע.
הכפלה וקטורית היא קומוטטיבית: a × b = b × a.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הכפלה וקטורית היא אנטי-קומוטטיבית: a × b = −(b × a). שינוי הסדר הופך את הכיוון.
אם |a| = 3, |b| = 4, והזווית ביניהם היא 30°, אז |a × b| = |a||b|sin θ. חשב זאת.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
|a × b| = 3 × 4 × sin 30° = 12 × 0.5 = 6.
יישומים
- עם מכפלות סקלרית ווקטורית: מרחקים, זוויות, נקודות חיתוך של קווים ומשטחים, והמרחק הקצר ביותר בין קווים לא מקבילים.
- מרחק מנקודה למישור: $d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
*המכפלה הווקטורית מאונכת לשני הווקטורים; אורכה שווה לשטח המקבילית
מציאת הנורמל
- הנורמל למישור המכיל שני וקטורים $\mathbf{b}$ ו$\mathbf{c}$ הוא $\mathbf{n} = \mathbf{b} \times \mathbf{c}$.
- זוהי הדרך המהירה ביותר למצוא את המשוואה הקרטזית ממבנה פרמטרי.
הבנתך מושלמת
- מישור: $ax + by + cz = d$ או $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$
- המכפלה הווקטורית $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ היא מאונכת לשני הווקטורים; $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$ = שטח המקבילית
- השתמשו בה למרחקים, זוויות, חיתוכים ומרחקים בין קווים לא מקבילים