מערכת קואורדינצות קוטבית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | קרטזי |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | קואורדינטות קוטביות |
| rotational symmetry/rəʊˈteɪʃənl ˈsɪmətri/ | סימטריה סיבובית |
| cardioid/ˈkɑːdɪəʊɪd/ | קריויד |
| sector/ˈsektə/ | מסלול |
מערכת הקואורדינטות שמפשטת מעגלים
- תיאור ספירלה או מעגל בקואורדינטות קרטזיות דורש משוואות מסובכות. בקואורדינטות קוטביות, מעגל הוא פשוט $r = \text{constant}$.
- קואורדינטות קוטביות טבעיות לכל דבר עם סימטריה סיבובית — מחלקיות כוכבי לכת ועד מסכי רדאר.
קואורדינטות קוטביות
- קואורדינטות קוטביות מזהות נקודה לפי המרחק $r$ מהראשית והזווית $\theta$.
- קישורים ל-קואורדינטות דקארטיות:
דוגמה מפורטת. הנקודה $(r, \theta) = (5, 60°)$ בקואורדינטות דקארטיות: $x = 5\cos 60° = 2.5$, $y = 5\sin 60° = 4.33$. לכן הנקודה היא $(2.5, 4.33)$.
קואורדינטות קוטביות $(r,\theta)$ מומרות לקרטזיות באמצעות $x=r\cos\theta$ ו$y=r\sin\theta$
מדרגות עגולות: ספירלות מתוארות באופן טבעי בקואורדינטות קוטביות (r, theta)
מערכת קואורדינצות קוטבית
r = f(θ)
בצורה הקוטבית נקודה נתונה על ידי (r, θ). עקומות יפות – ורדים, קרדיוידים, ספירלות – נובעות מ-r = f(θ).
במערכת הקואורדינטות הקוטבית, הקואורדינה x נתונה על ידי:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
x = r cos θ ו-y = r sin θ.
המירו את (r, θ) = (5, 60°) לקואורדינטות קרטזיות. מה שווה x = r cos 60°?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
x = 5 cos 60° = 5 × 0.5 = 2.5.
עבור הנקודה (3, 4) בקואורדינטות קרטזיות, מתקיים r² = x² + y². מצאו את r².
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
r² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
עקומים קוטביים
- עקומים קוטביים נפוצים:
r = 4cos θ הוא מעגל ברדיוס 2 שמרכוז ב-(2, 0) — הצורה הקוטבית הופכת אותו למשוואה של שורה אחת.
- $r = a$ — מעגל ברדיוס $a$ שמרכוז בראשית.
- $r = a\cos\theta$ — מעגל ברדיוס $\dfrac{a}{2}$ שמרכוז ב-$\left(\dfrac{a}{2}, 0\right)$.
- $r = a(1 + \cos\theta)$ — קרדיויד (צורת לב).
העקומה הקוטבית r = 4cos θ היא מעגל. מה שווה הרדיוס שלו?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
המשוואה r = 4cos θ נותנת x² + y² = 4x, כלומר (x−2)² + y² = 4 – מעגל ברדיוס 2.
העקומה הקוטבית r = a(1 + cos θ) מכונה:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
העקומה r = a(1 + cos θ) משרטטת עקומה בצורת לב הנקראת קרדיואיד.
שטח קוטבי
- שטח חלקת עיגול: $\text{area} = \tfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$.
אל תשכחו את ה-$\dfrac{1}{2}$. נוסחת השטח הקוטבית מכילה גורם של $\dfrac{1}{2}$ שקל להחמיץ. הגורם נובע משטח של חלקת עיגול משולשת דקה: $\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$.
קארדיויד r = 1 + cos theta, עקומה המוגדרת ישירות בצורה קוטבית
שטח של דרך קוטבית הוא ½∫r² dθ.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי הנוסחה הסטנדרטית לשטח בעקומות קוטביות.
המרת עקומות
- דוגמה: $r = 4\cos\theta$ → כפולה ב$r$: $r^2 = 4r\cos\theta$ → $x^2 + y^2 = 4x$ → $(x-2)^2 + y^2 = 4$, עיגול ברדיוס $2$.
הבנתך מושלמת
- $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$
- שטח סקטור קוטבי $= \tfrac12\int r^2\,d\theta$
- $r = 4\cos\theta$ הוא מעגל ברדיוס 2 במרכז $(2, 0)$