מטריצות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | מטריצה |
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | הפיכה |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | מטריצת זהות |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | קובעת |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | הפוך |
| singular/ˈsɪŋɡjʊlə/ | סינגולרית |
| invariant/ɪnˈveərɪənt/ | אינווריאנטי |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | הגדלה |
המתמטיקה המניעה גרפיקה מחשב
- בכל פעם שמסתובבים תמונה בטלפון שלכם, הכפלת מטריות עושה את העבודה מאחורי הקלעים.
- מטריות הן השפה של ההמרות — הן מתארות סיבובים, השתקפויות, מתיחות והקרנות באובייקט קומפקטי יחיד.
בסיסי מטריות
- מטריצה היא בלוק מלבני של מספרים. מכפילים שורה × עמודה.
- מטריצת הזהות $I$ משאירה מטריצה ללא שינוי: $AI = IA = A$.
דוגמה מפורטת. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5) + 2(6) \\ 3(5) + 4(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$.
מטריצות
(x', y') = M(x, y)
מטריצה ממירה את המישור; הדטרמינטה שלה היא גורם קנה מידה לשטח (שלילי = הפוך).
כפולו [[1, 2], [3, 4]] ב[[5], [6]]. מהו הערך בשורה הראשונה בתוצאה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
1(5) + 2(6) = 5 + 12 = 17.
סדרו את השלבים למציאת ההפיכה של מטריצה 2x2 [[a,b],[c,d]].
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
ההופך הוא (1/det)[[d,−b],[−c,a]] — החליפו את האלמנטים באלכסון הראשי, הפכו סימן לאלמנטים מחוץ לאלכסון וחלקו ב-det.
נקודות קיצון והפוכות
- עבור $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$: ה-נקודה הקיצון היא $\det A = ad - bc$.
- אם $\det A \neq 0$ (לא רגילה), ה-הפוך הוא $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
למטריצות סינגולריות אין נגזרת. אם $\det A = 0$, המטריצה היא סינגולרית — היא דוחסת את המישור לקו, מאבדת מידע שאינו ניתן לשחזור.
מהי הדטרמינטה של המטריצה [[3, 1], [2, 4]] (ad − bc)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
det = 3×4 − 1×2 = 12 − 2 = 10.
למטריצה 2×2 יש נגזרת בדיוק כאשר הקובעת שלה היא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מטריצה לא-סינגולרית (det ≠ 0) היא הפיכה; det = 0 משמעותה סינגולרית (אין לה הפיכה).
עבור A = [[3, 1], [2, 4]] עם det = 10, הכניסה בשורה הראשונה ועמודה הראשונה של A⁻¹ היא d/det. מצאו אותה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
A⁻¹ = (1/10)[[4, -1], [-2, 3]]. הכניסה בשורה הראשונה ועמודה הראשונה היא 4/10 = 0.4.
מטריצות כהמרות
- מטריצה $2\times2$ מייצגת המרה של המישור; $\det A$ = גורם קנה-מידה השטח.
מטריצה 2x2 ממפה את הריבוע היחיד למעוין; הקובעת שלה היא גורם קנה-מידה השטח.
- מכפלה $AB$ פירושה "לבצע $B$, ואז $A$". נקודות/קווים שלא משתנים הם אינווריאנטיים.
עבור מטריצת טרנספורמציה, הקובעת מספקת את ה:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הקובעת הוא הגורם שבו השטחים מתכוונים או מתרחבים על ידי הטרנספורמציה.
עבור המטריצות A ו-B, הכפל AB פירושו "לבצע תחילה B, ואז A".
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כפל מטריצים מבוצע מימין לשמאל: AB(x) = A(B(x)), ולכן B פועלת תחילה.
המרות נפוצות
| מטריצה | המרה |
|---|---|
| $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | השתקפות ציר $y$ |
| $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | סיבוב $90°$ נגד כיוון השעון |
| $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | הגדלה גורם קנה-מידה $k$ |
- יש לדעת חיבור מטריצות, את המטריצה האפס, את מטריצת היחידה (או זהות), ונקודות וקווים אינווריאנטיים של ההמרה.
הבנתך מושלמת
- $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$; הפיכה אפשרית כאשר $\det \neq 0$
- $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
- מטריצה היא המרה; $\det$ = גורם קנה-מידה השטח; $AB$ = "לבצע $B$, ואז $A$"