סכום סדרות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| summation/sʌˈmeɪʃn/ | סיכום |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | שיטת הפרשים |
| telescope/ˈtelɪskəʊp/ | טלסקופי |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | מתכנס |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | סך אינסופי |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | שברים חלקיים |
הסכום שגאוס פתר בגיל 10
- מורה גאוס הצעיר הניח לכיתה להוסיף $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$, תוך צפייה לעבודה של שעה. גאוס הבין את הדפוס מיד: חיבר את הראשון עם האחרון ($1 + 100 = 101$), את השני עם השני מאחרון ($2 + 99 = 101$) וכדומה — 50 זוגות של 101 = 5050.
- נוסחאות סכום הופכות חיבורים ארוכים לאלגברה פשוטה.
תוצאות סכום סטנדרטיות
דוגמה מפורטת. $\sum_{r=1}^{10} r^2 = \dfrac{10 \times 11 \times 21}{6} = \dfrac{2310}{6} = 385$.
חיבור מספרים מ-1 עד n על ידי חיבור קצוות: הסכום הכולל הוא n(n+1)/2
סכום סדרות
Sₙ = Σ uₖ
הוסיפו את האיברים אחד אחרי השני — הסכום החלקי עולה לעבר הגבול שלו.
בהשתמש ב-Σr = ½n(n+1), מהו סכום 5 המספרים הראשונים?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
½ × 5 × 6 = 15 (= 1+2+3+4+5).
בהשתמש ב-Σr² = (1/6)n(n+1)(2n+1), מהו סכום 3 הריבועים הראשונים?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(1/6)(3)(4)(7) = 84/6 = 14 (= 1+4+9).
בהשתמש ב-Σr³ = ¼n²(n+1)², מהו סכום 3 הקוביות הראשונים?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
¼ × 9 × 16 = 36 (= 1+8+27). הערה: 36 = 6² = (1+2+3)².
השלמו לתוצאה הסטנדרטית: Σr (מ-1 עד n) = ______ n(n+1).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
סכום n המספרים הראשונים הוא ½n(n+1).
פיצול סכומים
- פצל סכום לחלקים סטנדרטיים:
- $\sum_{r=1}^{n}(2r+1) = 2\sum r + \sum 1 = 2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} + n = n(n+1) + n = n(n+2)$.
$\sum r^3 = (\sum r)^2$. זהות יפה זו אומרת שהסכום של קוביות שווה לריבוע הסכום של $n$ המספרים הטבעיים הראשונים. קל לאמת זאת: $\sum_{r=1}^{3} r^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 6^2 = (1+2+3)^2$.
Σ(2r+1) מ-r=1 עד n = n(n+2). עבור n=4, מצאו את הסכום.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
4 × 6 = 24. בדיקה: 3+5+7+9 = 24.
שיטת ההפרשים
- כאשר כל איבר הוא $f(r) - f(r+1)$, כמעט הכל מצטב (מתקפל).
- מסכום ל-$n$ איברים ניתן לראות אם סדרה מתכנסת ולמצוא את סכומה לאינסוף.
בשיטת ההפרשים, אם כל איבר הוא f(r) − f(r+1), רוב האיברים מתאפסים (טלסקופ).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
איברים רציפים מתאפסים, ונותרים רק החלק הראשון והאחרון.
Σ 1/(r(r+1)) מ-r=1 עד ∞ טלסקופ ל-1 − 1/(n+1). כאשר n→∞, מהו הסכום האינסוייתי?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
כאשר n→∞, 1/(n+1)→0, ולכן הסכום שואף ל-1.
דוגמה פתורה — שיטת ההפרשים
- מצאו $\sum_{r=1}^{n} \dfrac{1}{r(r+1)}$.
- שברים חלקיים: $\dfrac{1}{r(r+1)} = \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r+1}$.
- הסכום מתקפל: $\left(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots = 1 - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1}$.
- כאשר $n \to \infty$: סכום לאינסוף $= 1$.
- סדרה היא מתכנסת כאשר סכומה ל-$n$ איברים שואף לגבול.
הבנתך מושלמת
- $\sum r = \tfrac12 n(n+1)$, $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$, $\sum r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2$
- פיצול סכומים לחלקים סטנדרטיים
- שיטת ההפרשים מתקפלת $f(r) - f(r+1)$