פונקציות רציונליות וגרפים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | פולינום |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה אנכית |
| oblique asymptote/əˈbliːk ˈæsɪmptəʊt/ | אסימפטוטה אלכסונית |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | מכנה |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה רציונלית |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | שארית |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | מחלקת |
הגרף ששובר את הכללים
- רוב הפונקציות שנפגשת איתן הן פולינומים — חלקות, רציפות ומוגדרות בכל מקום. אך אם תחלק פולינום אחד בשני, תקבל דבר מרווה יותר: אסימפטוטות אנכיות, אסימפטוטות אלכסוניות והתנהגות השונה באופן דרמטי בסמוך לאפסים של המכנה.
- פונקציות רציונליות הן הכניסה להבנת עקומים מורכבים יותר.
מהי פונקציה רציונלית?
- פונקציה רציונלית היא שבר של שני פולינומים: $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$.
- האפסים של המכנה נותנים אסימפטוטות אנכיות (בהן הפונקציה מתעוצבת ל$\pm\infty$).
דוגמה מופתרת. $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 2}$. אסימפטוטה אנכית ב$x = 2$. בחלוקה: $f(x) = x + 2 + \dfrac{3}{x-2}$. האסימפטוטה האלכסונית היא $y = x + 2$.
פונקציות רציונליות
y = a/(x − b) + c
לפונקציה רציונלית יש אסימפטוטות שהעקומה שואפת אליהן אך לעולם אינה נוגעת בהן.
פונקציה רציונלית היא שבר של שני פולינומים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי ההגדרה — פולינום אחד על גבי השני.
אסימפטוטות אלכסוניות (משופעות)
- כאשר למונה יש מעלה גבוהה יותר מאשר למכנה, לגרף יש אסימפטוטה אלכסונית (משופעת) - ניתן למצוא אותה על ידי חלוקה ארוכה של פולינומים.
- האיבר השאריות נעלם כאשר $x \to \infty$, משאיר את המנה כאסימפטוטה.
העקומה צמודה לאסימפטוטה האנכית x = 2 ולאסימפטוטה האלכסונית y = x + 2 הרחק מהראשית.
אל תשכח את השארית. במהלך החלוקה, הפונקציה שווה למנה בנוסף לשארית מחולקת על המחלק. האסימפטוטה היא רק המנה – השארית מספרת מאיזה צד של האסימפטוטה העקומה מתקרבת אליה.
לפונקציה רציונלית יש אסימפטוטה אלכסונית (שיפועית) כאשר הדרגה של המונה היא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כאשר מעלת המונה עולה על מעלת המכנה, חלוקה משאירה קו אלכסוני שהעקומה שואפת אליו.
מציאים אסימפטוטה אלכסונית באמצעות:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חלוקת פולינומים מספקת את החלק הישר שהעקומה שואפת אליו במרחק רב מהראשית.
עבור f(x) = (x²−1)/(x−2), נחלק כדי לקבל f(x) = x + 2 + 3/(x−2). האסימפטוטה האלכסונית היא y = x + ?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
המנה היא x + 2, ולכן האסימפטוטה האלכסונית היא y = x + 2.
גרפים קשורים
- עליך לקשר את $y = f(x)$ ל:
- $y^2 = f(x)$ — קיים רק כאשר $f(x) \geq 0$, סימטריה ביחס לציר ה$x$.
- $y = \dfrac{1}{f(x)}$ — אפסים הופכים לאסימפטוטות, ואסימפטוטות הופכות לאפסים.
- $y = |f(x)|$ — משקף את החלקים השליליים מעל ציר ה$x$.
- $y = f(|x|)$ — משקף את החצי הימני שמאלה.
עבור y = 1/f(x), אפסים של f(x) הופכים לאסימפטוטות אנכיות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בנקודות שבהן f(x) = 0, הביטוי 1/f(x) אינו מוגדר — ונוצרת אסימפטוטה אנכית.
גרף של y = |f(x)| מתקבל מ-g(x) = f(x) באמצעות:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המודולוס משקף כל חלק מהגרף מתחת לציר ה-x מעליו.
דוגמה מפורטת — גרפיקה של $y = \dfrac{1}{f(x)}$
- אם $f(x) = x^2 - 4$ (שורשים ב-$\pm 2$, מינימום ב-$(0, -4)$):
- ל-$\dfrac{1}{f(x)}$ יש אסימפטורות אנכיות ב-$x = \pm 2$.
- המינימום של $f$ ב-$-4$ הופך למקסימום מקומי של $\dfrac{1}{f}$ ב-$-\dfrac{1}{4}$.
- מצאו את קבוצת הערכים שפונקציה רציונלית לוקחת באמצעות הדיסקרימיננטה, ואת נקודות השינוי שלה.
הבנתך מושלמת
- פונקציה רציונלית = פולינום ÷ פולינום
- דרגת המונה > דרגת המכנה → אסימפטורה אלכסונית (מתקבלת בחלוקה)
- לימדו את הגרפים הקשורים: $y^2 = f$, $1/f$, $|f|$, $f(|x|)$