היקף ותנאי מקדימים
בהתבסס על המסגרת Digital SAT. משימות נייר אלו אינן מותאמות אישית ואינן חוזה ציון מוקנה.
- השתמשו בשטח, נפח וחזות
- יישמו יחסים של משולש ישר זווית ואת משפט פיתגורס
- השתמשו במשוואות מעגל, קשתות ויחסים בין זוויות
תנאי קדם: סכום זוויות במשולש; פיתגורס; מידות אורך/שטח/נפח.
הסבר ובחירת השיטה
דמיון שומר על זוויות ויחסים בין אורכים. השטחים משתנים פי k² והנפחים פי k³.
במשולש ישר זווית, סינוס הוא מול/יתר, קוסינוס הוא סמוך/יתר, וטנגנס הוא מול/סמוך.
מעגל שמרכזו (h,k) ורדיוס r מתואר על ידי (x−h)²+(y−k)²=r².
היקף מלא שווה ל-360° או 2 רדיאנים. אורך קשת הוא rθ רק כאשר θ נמדד ברדיאנים.
גורם קנה מידה $k$ משנה כל אורך תואם. $A_2=k^2A_1$ ו-$V_2=k^3V_1$ לצורות דומות. אם $k=3/2$ ו-$A_1=24\,\mathrm{cm^2}$, אז $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$. שינוי של ממד אחד בלבד אינו מבטיח את חוקי הדמיון הללו.
דוגמה פותרת. למשולש ישר זווית שתי זרועות 6 ו8. c²=6²+8²=100, ולכן c=10. עבור הזווית מול 6, sin θ=6/10=0.6. משולש דומה שהוגדל בגורם 3 יש לו שטח פי תשע מהמקורי.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
סקירה זו מציגה את המיומנויות. לכל אחת מהן יש מדריך אישי ומדף תרגולים: 18 ו19. עיבודן בסדר זה.
תרגול 1
כלים דומים בעלי שטחי פנים 96 ו216 ס"מ רבועים. הנפח הקטן יותר הוא 160 ס"מ מעוברים. מצא את הנפח הגדול יותר.
הסבר. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. הנפח משתמש בקובייה: $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. שימוש ישיר ביחס השטח יניב נפח שגוי.
תרגול 2
למשולש ישר זווית היפרוטנוז של 13 ס"מ וזרוע אחת של 5 ס"מ. מצא את הזרוע השנייה, את השטח ואת סינוס הזווית מול הזרוע של 5 ס"מ.
הסבר. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
תרגול 3
שתי זוויות פנימיות במשולש הן 42° ו73°. מצא את הזווית השלישית ואת הזווית החיצונית הסמוכה לה. האם זוויות אלו לבדן קובעות את כל אורכי הצלעות?
הסבר. הזווית השלישית היא $180-42-73=65$ מעלות. הזווית החיצונית הסמוכה לה היא $180-65=115$ מעלות, גם כן $42+73$. זוויות קובעות צורה אך לא קנה מידה; משולשים דומים יכולים להיות בעלי אורכי צלעות שונים.
תרגול 4
Two parallel lines are cut by a transversal. One corresponding angle is 68°. Find its matching corresponding angle and the adjacent angle on the second line. Explain which given condition justifies each step.
Reasoning. Parallelism gives the matching corresponding angle 68°. The adjacent pair forms a straight angle, so the other is 180°−68°=112°. Equal corresponding angles require the stated parallel lines; the straight-angle sum uses adjacency on one line. A similar-looking sketch without parallelism would not justify the first equality.
מגבלות ושימוש עתידי
רדיוס וקוטר שונים בפקטור של שניים. השימוש בקוטר במקום רדיוס בנוסחת πr² יגרום לכך שהשטח יהיה פי ארבע גדול מדי.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.