היקף ותנאי מקדימים
בהתבסס על המסגרת Digital SAT. משימות נייר אלו אינן מותאמות אישית ואינן חוזה ציון מוקנה.
- לשחזר מרכז ועיגול על ידי השלמת ריבוע
- להמיר זוויות מרכזיות ולחשב אורך קשת ושטח מלבן
- השתמש בקשרים בין טנגנס, זווית מושתתת ומעגל היחידות
תנאי קדם: השלמה לריבוע; רדיוס; רדיאנים; יחסים במשולש ישר-זווית.
הסבר ובחירת השיטה
מעגל עם מרכז (h,k) ורדיוס r מקיים את המשוואה (x-h)²+(y-k)²=r². למשוואה מורחבת, השלים לריבוע ב-x וב-y והוסף את הקבועים המשלימים לצד השני. צד ימין התוצאה חייב להיות חיובי כדי לקבל מעגל אמיתי ולא דגנרטטי. שמור על ההבדל בין הרדיוס לבין הריבוע שלו.
זווית מרכזית θ ברדיאנים נותנת אורך קשת rθ ושטח מאחז r²θ/2. בדרגות, השתמש בשבר θ/360 מההיקף או השטח הכולל. סיבוב שלם הוא 2π רדיאנים=360°. הנוסחאות rθ ו-r²θ/2 דורשות רדיאנים; הצרת דרגות ללא המרה תניא סקאלה שגויה.
משיק בנקודה על המעגל אנכי לרדיוס באותה נקודה. זווית מושתתת היא מחצית הזווית המרכזית החוצה את אותה קשת; זווית החוצה קוטר היא זווית ישרה. זיהוי הקשת המשותפת האמיתית והמרכז לפני יישום חוקים אלו. מיתר אינו משיק ואינו חייב להיות אנכי לרדיוס אלא אם כן תנאים נוספים מאשרים זאת.
בעיגול היחידות, נקודה בזווית θ בעלת קואורדינטות (cos θ,sin θ), ולכן cos²θ+sin²θ=1. הסימנים תלויים ברביע. עבור זוויות חדות משלימות, sin θ=cos(90°-θ). השתמש במשולשים מיוחדים לערכים מדויקים: ב-30°, הסינוס הוא 1/2 והקוסינוס √3/2; ב-45° שניהם הם √2/2.
השלם את שני הריבועים במשוואת מעגל . $x^2+y^2+6x-8y=0$ הופך ל-$(x+3)^2+(y-4)^2=25$. המרכז הוא $(-3,4)$ והרדיוס הוא 5. אורך קשת הוא $s=r\theta$ רק עבור זווית ברדיאן $\theta$.
Worked example. x²+y²-4x+6y-12=0 becomes (x-2)²+(y+3)²=25, giving centre (2,-3), radius 5. For radius 6 and central angle π/3, arc length is 2π and sector area 6π. An inscribed angle on that same 60° arc is 30°. At 150°, cosine is -√3/2 and sine 1/2 because the point is in quadrant II.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
תרגול 1
מצא את המרכז והרדיוס של $x^2+y^2-8x+2y+8=0$. האם $(7,-1)$ נמצא עליו?
הסבר. השלימו ריבועים כדי לקבל $(x-4)^2+(y+1)^2=9$. מרכז $(4,-1)$, משוער 3. הצבה של $(7,-1)$ נותנת $3^2+0^2=9$, ולכן היא נמצאת על המעגל.
תרגול 2
מגזר בעל רדיוס 8 ס"מ וזווית 135°. מצא את הזווית שלו ברדיאנים, אורך הקשת והשטח. זווית מצוקית אחרת בעיגול חותכת באותה קשת; מצא אותה.
Reasoning. $\theta=135\pi/180=3\pi/4$ radians. $s=r\theta=(8\,\mathrm{cm})(3\pi/4)=6\pi\,\mathrm{cm}$. $A=r^2\theta/2=(8\,\mathrm{cm})^2(3\pi/4)/2=24\pi\,\mathrm{cm^2}$. The inscribed angle is half the central angle: 67.5 degrees.
תרגול 3
נקודה בעיגול היחידות נמצאת ברביע השלישי ויש לה $y=-1/2$. מצא את הקואורדינה ה-$x$ שלה וזווית אחת בין 0° ל-360°.
Reasoning. $x^2+y^2=1$ gives $x^2=3/4$. Quadrant III requires $x<0$, so $x=-\sqrt3/2$. The point is at 210 degrees, with reference angle 30 degrees.
מגבלות ושימוש עתידי
בדוק יחידות דרגות/רדיאנים, סימני המרכז והאם הזווית היא מרכזית או מושתתת לפני היישום.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.