היקף ותנאי מקדימים
בהתבסס על המסגרת Digital SAT. משימות נייר אלו אינן מותאמות אישית ואינן חוזה ציון מוקנה.
- פרשנו את השיפוע והחיתוך של דגם מותאם בהקשר
- חשבו שארית והבדילו בין אינטרפולציה לאקסטרפולציה
- בחרו דפוסי ליניאריים או אקספוננציאלים מתוך נתונים עם שלבים שווים
תנאי קבלה: פונקציות ליניאריות; חיסור סימני; תוויות גרף פיזור.
הסבר ובחירת השיטה
גרף פיזור מציג זוג של משתנים כמותיים, עם נקודה אחת לכל זוג נתונים. קו מותאם מסכם מגמה ואינו מחבר כל נקודה. במודל y=a+bx, b מתאר את השינוי ב-y עבור עלייה של יחידה אחת ב-x; היחידות שלו הן יחידות y לכל יחידת x. החיתוך a מתאר את y כאשר x=0, שעשוי להיות מחוץ לתחום הנתונים.
שארה היא y תצפיתית מינוס y מותאמת. חיובי משמעו שהתצפית נמצאת מעל הדגם; שלילי משמעו מתחת. הצביעו את x התצפיתי בתוך הדגם לפני החיסור. שארה גדולה מסמנת תחזית גרועה עבור הנקודה הזו, אך לא בהכרח טעות במדידה או הוכחה להיעדר המגמה.
אינטרפולציה חוזרת בתוך טווח ה-x התצפיתי; אקסטרפולציה עוברת מעבר לו ומצריכה זהירות רבה יותר מכיוון שהיחס עשוי להשתנות. השתמשו בתחום ההקשרי של הדגם גם לצד הצורה האלגברית שלו. לדוגמה, זמן נסיעה חזוה שלילי יכול לחשוף אקסטרפולציה בלתי מוצדקת ולא תוצאה פיזיקלית אפשרית.
לשלבים קלט שווים, הבדלים קלט קבועים כמעט מצביעים על דגם ליניארי; יחסים קבועים כמעט מצביעים על דגם אקספוננציאלי. רעש יכול להפוך כל דפוס לקירוב. קשר אינו מזהה סיבה: שני המשתנים עשויים לשקף גורם שלישי. מגמה מותאמת היא עדות לתחזית, אך לא באופן עצמאי להתערבות.
שארית היא הערך הנצפה פחות הערך המנובא. מודל מסע $T=5+2d$ משתמש בדקות עבור $T$ ובקילומטר עבור $d$. $T(4)=5\,\mathrm{min}+(2\,\mathrm{min/km})(4\,\mathrm{km})=13\,\mathrm{min}$. עבור זמן נצפה של 16 דקות, $e=T_{obs}-T_{pred}=16\,\mathrm{min}-13\,\mathrm{min}=3\,\mathrm{min}$.
דוגמה מוצגת. עבור זמן לימודים x בשעות ומנובא ציון תרגול y=12+3x, השיפוע הוא 3 נקודות ציון/שעה. ב-x=2 המנובא הוא 18. אם הציון הנצפה הוא 21, השארית=21-18=3. כאשר ערכי x נצפים בטווח 1 עד 5, ניבוי ב-x=3 הוא אינטרפולציה וב-x=12 אקסטרפולציה. יציאות 5,10,20,40 בצעדים שווים של קלט מצביעות על גידול אקספוננציאליות בעובדה-כפול.
חומר לתרגול
כל שאלת תרגול למטה מציינת את כל הנתונים הנדרשים לה.
תרגול עם הסכמה
תרגול 1
מודל משלוח מותאם הוא $T=8+1.5d$ דקות למרחקים נצפים של 2–10 ק"מ. פרש את שני הפרמטרים. ב-6 ק"מ הזמן הנצפה הוא 15 דקות; מצא את שאריתו.
הסבר. החיתוך מנבא 8 דקות במרחק אפס; אפס נמצא מחוץ לתחום הנצפה, ולכן פרשנות זו היא אקסטרפולציה. השיפוע מנבא עוד 1.5 דקות לכל ק"מ. $T(6)=8\,\mathrm{min}+(1.5\,\mathrm{min/km})(6\,\mathrm{km})=17\,\mathrm{min}$. שארית $e=15\,\mathrm{min}-17\,\mathrm{min}=-2\,\mathrm{min}$, מתחת לקו.
תרגול 2
נתבקשו לנבא בערכים 7 ק"מ ו-20 ק"מ. סווגו כל נבואה, והסבירו מדוע שיפוע מותאם אינו מוכיח שהמרחק לבדו גורם לכל השונות בזמן.
הסבר. שבע נמצא בתוך 2–10, ולכן אינטרפולציה. עשרים נמצא מחוץ, ולכן אקסטרפולציה עם תמיכה חלשה יותר. תנועה, טעינה ותנאים אחרים יכולים להשפיע על הזמן; קשר מותאם אינו מפריד בין השפעותיהם.
תרגול 3
בקלטות במרווחים שווים 0,1,2,3, הפלטות הן 6,18,54,162. בחרו חוק ליניארי או מעריבי פשוט ונבאו בערך 4, תוך ציון ההנחה.
הסבר. היחסים כולם 3, בעוד שההפרשים משתנים. הכלל האקספוננציאלי הוא $y=6(3)^x$. בהמשך הגידול בעובדה-שלוש, $y(4)=6(3)^4=486$. זוהי אקסטרפולציה מבוססת מודל, ולא תחזית ודאית לאירוע הבא.
מגבלות ושימוש עתידי
שמור על סדר (נצפה פחות מנובא). אל תמיר שיפוע מודל להשפעת טיפול סיבתית.
אלו משימות תרגול מקוריות שנכתבו לקורס זה, ולא שאלות מבחן רשמיות.