3.4 · Statistics and probability

OxfordAQA יחידת 9260 3.4 (גרסת ספקסיפיקציה 5.1) — היחידה הקטנה ביותר ב-13% מ סימני הדגימה המשותפים. שורות ליבה S1–S5 מכסות סוגי נתונים, קריאת טבלאות, טבלאות דו-כיווניות, בנקודת הגרפים המלאה והממוצעים הבסיסיים; ההוספות להרחבה מוסיפות היסטוגרמות עם רווחי מחלקה לא שווים, דיאגרמות תדר מצטבר, ערכות קופסאות ורבעונים עם טווח רבעוני ואחוזונים. הדגימה ב-1E כוללת היסטוגרמה ותיקון תדר מצטבר לעליון גבולות; שאלות הסטטיסטיקה של הדוגמא 2E כוללות 40-אנשים ו38% קריאות. קווים שהדוגמאות לעולם לא דוגמות מהם מסומנים כמפרטים מקוריים.

חובה לדעת ליחידה 3.4:

נתונים איכותניים ממיינים (פריט האהוב); נתונים בדידים סופרים (מספר שערים); נתונים רציפים מדדים (גובה), קבוצתיים או לא קבוצתיים. להפיק נתונים מטבלאות מודפסות ורשימות — לקרוא תחילה את הכותרות בשורה ובעמודה, ולהציט יחידות מידה. טבלאות דו-כיווניות עושות צלב-טבלה לשני משתנים; כל שורה וסך העמודה מאמת את התאים הפנימיים: 30 תלמידים, 18 קריקט, 15 טניס ו 7 המלא מילא מרובע 2×2 שבתאייו חייבים לסכום ל-30.

דוגמה פתורה: השלמת טבלה דו-כיוונית. התחל מהתא שמכיר: 7 משחק שניהם. אז קריקט אך לא טניס הוא $18 - 7 = 11$, טניס אך לא קריקט הוא $15 - 7 = 8$, ואין שום אחד מהם הוא $30 - 7 - 11 - 8 = 4$.

כל שורה ועמודה מתכווצים לסך, וזה הבדיקה. חיבור $18 + 15 = 33$ ו הימנו "יותר מ-30, בלתי אפשרי" שוכח את ה-7 שנמדד פעמיים.

בנק הגרפים הבסיסי: גרפי פיזור, עץ-גזע, טבלאות סימון, פיקטוגרמים, גרפי עמודות, גרפי עמודות כפולים ומרוכבים, גרפי עוגה, גרפי קו, פוליגוני תדירות והיסטוגרמות עם רווחי קלאס שווים. לבחור לפי סוג הנתונים — קטגוריות לוקחות עמודות, השוואות לוקחות עמודות כפולות, חלקים משלם לוקחים גרפי עוגה, מגמות לוקחות גרפי קו, קורלציה לוקחת גרפי פיזור.

לגרף עוגה, כל פריט תופס זווית היחסית שלו ל-$360°$: אם 14 של 40 תלמידים בוחרים תפוחים, האזור של התפוח הוא $\tfrac{14}{40} \times 360° = 126°$. הזוויות חייבות להתכווצו ל-$360°$.

היסטוגרמה עם רווחי קלאס לא שווים מציירת גובה עמודה כ הצפיפות התדרותית $=$ תדרות על רוחב הקלאס — השטח הוא ה תדירות (מחלקות רוחב 2, 3, 5, 10, 15 המכילות 5, 12, 18, 14, 9 נותנות גובה 2.5, 4, 3.6, 1.4, 0.6). גרף תדירות מצטברת מציג את כל הסכום הנערך בגבול העליון של המחלקה כעלייה חלקה (הקריב 1E תיקון הדוגמה הוא בדיוק מיקום נקודה זו בגבול העליון); הממוצע נקרא ב-$\tfrac n2$, הרבעונים ב-$\tfrac n4$ ו-$\tfrac{3n}4$. ציור תיבה (סיכום חמישה מספרים: מינימום, $Q_1$, ממוצע, $Q_3$, מקסימום) מראה פיזור מבט אחד – התיבה מכסה את טווח הרבעונים, הזנבות את הטווח, והערכים הקיצוניים לפי שיקול דעת.

הממוצע מחלק את הסך הכל במספר הפריטים (נתונים מקובצים כופלים כל אמצע מחלקה בתדירותה תחילה); הממוצע מסדר ולוקח את האמצע; המוד הוא התדירות הגבוהה ביותר והמחלקה המודית היא המחלקה עם הצפיפות הגבוהה ביותר כאשר הרוחבים שונים. ההוספות בהרחבה מוסיפות רבעונים ואת טווח הרבעונים $= Q_3 - Q_1$ (הממוצע של החצאים התחתון והעליון), ו-אחוזונים נקראים כמו המדIAN של החצאים התחתון והעליון), ואחוזונים נקראים כמו המדIAN בכל אחוז — האחוז ה-$p$ הוא הערך $\tfrac p{100}n$ של דרך למעלה במידע הממוין או בעקומת התדרויות הצוברות.

דוגמה פתורה: ממוצע משוער. מסות $m$ (ק"ג) של 20 חבילות:

הנקודות המרכזיות הן 2, 6, 10 ו-16, ולכן $\sum fx = 10 + 48 + 40 + 48 = 146$ וה הממוצע המשוער הוא $146 \div 20 = 7.3$ ק"ג. זהו הערכה מכיוון שהמסות המדויקות אינן ידועות. הקלאס האחרון רחב יותר (רוחב 8), ולכן יש לבדוק את קלאס התדרוך על ידי צפיפות תדרוך: $\tfrac54 = 1.25$, $\tfrac84 = 2$, $\tfrac44 = 1$, $\tfrac38 = 0.375$; קלאס התדרוך הוא $4 < m \le 8$.

דוגמה מודגמת: קריאת עקומת תדרוך מצטברת. 60 שעות שבועיות של עובדים כוללות תדרוכים מצטברים 6, 17, 27, 42, 60 בגבולות עליונים 10, 15, 20, 25, 30 (שעות). המדIAN נקרא ב- עובד 30: בין 20 (27) לבין 25 (42), כך $20 + 5 \times \tfrac{30 - 27}{42 - 27} = 21$ hours. $Q_1$ at worker 15: $10 + 5 \times \tfrac{15 - 6}{17 - 6} = 14.1$; $Q_3$ בעמדת העובד 45: $25 + 5 \times \tfrac{45 - 42}{60 - 42} = 25.8$; טווח רביעי $\approx 11.7$ שעות. צייר קויות הקריאה — הסימונים מיועדים לקריאות.

השוואה בין שתי חלוקות. תמיד יש לבצע שתי השוואות, כל אחת בהקשר: אחת של ממוצע (חציון) ואחת של פיזור (IQR). לדוגמה, "חציון הזמן של קבוצה A (21 ש') גבוה יותר מהחציון של קבוצה B (17 ש'), לכן A עובדת בדרך כלל זמן ארוך יותר; ה-IQR של A (11.7 ש') גדול מה-IQR של B (6 ש'), ולכן הזמנים של A פחות תואמים." השוואה רק בטווח היא חלשה, כי ערך קיצוני אחד יכול לשנות טווח.

• סוגי נתונים איכותיים/דיסקרטיים/רציפים; מסודרים ולא מסודרים (S1).
• חילוץ ממטבלות ומרשימות מודפסות, עם ציין יחידות (S2).
• עיצוב ושימוש בטבלאות דו-כיווניות עם בדיקות שורות/עמודות (S3).
• בנק הגרפים המרכזי, הנבחר לפי סוג הנתונים (S4).
• היסטוגרמות בעלות רווחים לא שווים לפי צפיפות תדר (השטח הוא התדר); גרפי תדר מצטבר בגבולות עליונים עם קריאות של חציון/רבעונים; גרפי קופסה (S4 הרחבה; 1E היסטוגרמה ועוגני גבול TFR).
• ממוצע (לנתונים מסודרים באמצעות נקודת אמצע), חציון, מודוס ומודוס מחלקה (S5).
• רבעונים, טווח רביעי ואחוזים מהנתונים או מהעקומה (S5 הרחבה).

הערות לגבול: לשון האפשרויות מופיעה במפרט זה בחלק המספרים/אלגברה ועבודת היחידות הקודמות; פירוק ההתאמה מתואר במפרט. קויות לא נדגמו על ידי הדוגמאות (ענף-עלים, גרפי עיגולית וכמה סוגי גרפים על דפי ההרחבה) מורגלים כמקור המפרט; הדוגמאות הן רק ברמת ההרחבה, ולכן בדרישת הרמה המרכזית אין עדות מקומית. דוגמאות פתרות הן מותאמות מזוג הדוגמאות 2016 או מקוריות.