3.2 · Algebra

יחידה OxfordAQA 9260 יחידה 3.2 (תכנית לימודים לבחינה הראשונה 2018) — היחידה הגדולה ביותר ב-35% מכל מבחן הרחבה. שורות הליבה A1–A26 מכסות סימון ועד גרפים, משוואות, אי-שוויונות וסדרות; ההוספות להרחבה מוסיפות פיסול נושא פעמיים, פתיחות משולשות, כל פירוק לשורשים של משוואה ריבועית, חזקות שבריות, שברים אלגבריים ריבועיים, הוכחה פורמלית, את ערכת הכלים המלאה לפונקציות (תחום, טווח, הפוך, קומפוזיציה), משוואות קו, גרפים מעריכיים וטריגונומטריים, גזירה עם מגעים ונקודות ניצבים, השלמת שיפועים ושטחים מתחת לגרפים, משתנים, כל זוג סנכרוניות, ריבועי אי-שוויונות וסדרות ריבועיות. דוגמא 2E מייצגת יחידה זו במלואה (אלגברה היא עמוד השדרות שלה); הקווים שאינם נדגמו מסומנים כמקורות המפרט.

חובה לדעת ליחידה 3.2 (ללא טופסים):

אותיות מבטאות מספר כללי; הציבו מספרים בנוסחות ובביטויים (חיוביים, שליליים, שבריים). התוספת ההרחבה מסדרת מורכבים נוסחות גם כאשר הנושא מופיע פעמיים: מ-$ax + 3 = 5(xt) - 2a$, אספו תחילה את איברי הנושא — $ax + 2a = 5xt - 3$, כך שה-$a(x + 2) = 5xt - 3$ וה- $a = \dfrac{5xt - 3}{x + 2}$. בדוקו כל סידור מחדש באופן מספרי.

אספו איברים דומים; פתחו סוגרים יחידים ומכפלות (בהרחבה) של שני או שלושה ריבוע: $(x + 2)(x - 3)(x + 1) = (x^2 - x - 6)(x + 1) = x^3 - 7x - 6$. פיעול על ידי גורמים משותפים ו(בהרחבה) כל ריבועי $ax^2 + bx + c$, כולל ה- הפרש של שני ריבועים: $2x^2 - 7x - 15 = (2x + 3)(x - 5)$ ו-$9x^2 - 25 = (3x - 5)(3x + 5)$. Index laws run to fractional powers: $4c^5 \div 3d^3$ נותר כ $\tfrac{4c^5}{3d^3}$ בתשובות בצורת מעריך (הצורה של תשובה בדוגמא 1E).

ביטויים רציונליים (הרחבה) מוסיפים, מחסרים, מכפילים ומחלקים ליניאריים או ריבועי — פקטוריזציה קודם, ביטול גורמים שלמים, מכנים משותפים. לדוגמאות מכנים. הדוגמה 2E מכילה את ה$\dfrac{11m - 14}{m^2 - 3m - 4}$ ואת התשובות $\dfrac{2x + 3}{x + 4}$ מגיעות ממנגנון זה.

דוגמה פתורה: פשוטו, ואז חסרו. (א) פשוטו $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6}$. (ב) כתבו $\dfrac{3}{x + 2} - \dfrac{1}{x - 1}$ כ- שבר יחיד.

(א) פתור את המונה והמכנה, ואז קצר את הגורם המשותף כולו $(x + 3)$:

(ב) המכנה המשותף הוא $(x + 2)(x - 1)$. כתוב את המונה השני בסוגריים כדי שסימן החסר יגיע לשני האיברים:

קיצור של איברים בודדים (כמו ה-$x^2$ בחלק (א)) אסור לעולם: רק גורמים כוללים מתקצרים.

הראייה מתמטית כי זהויות מתקיימות לכל ערך — עם טענת ההרחבה. ביקוש להוכחות פורמליות. מבנה: ציין את האלגברה, פשט, השווה עם ה- דגם קלאסי (2E): הוכח כי $n^2 + n + 9$ הוא אי-זוגי לכל מספר שלם $n$. כתוב $n^2 + n = n(n + 1)$: מכפלה של שני מספרים שלמים עוקבים, אחד מכיוון ש-$n(n + 1)$ הוא זוגי, ו-$+ 9$ הוא אי-זוגי. עוד הוכחת זוגיות: $(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = (4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 - 4n + 1) = 8n$ — כפולה של 8 לכל מספר שלם $n$. דוגמאות מספריות לעולם אינן הוכחה.

אחרת פונקציה מקשרת כל קלט לדיוק מוצא אחד (ליבה: קלט–פלט פשוט תחום ו-טווח). מורכבת: $\mathrm{f}(x) = \ldots$, תחום הגדרה ו-טווח). מורכבת: $\mathrm{fg}(x) = \mathrm{f}(g(x))$, מיישמים את $g$ תחילה — הדגם 2E בונה $\mathrm{fg}(x) = (x - 5)^2 + 1$ ופותר $\mathrm{fg}(x) = 5$: $(x - 5)^2 = 4$ gives $x = 3$ (or $x = 7$; check: ה$(3 - 5)^2 + 1 = 5$ מגיעה מה1. $\mathrm{f}^{-1}(x) = \tfrac x3$ נובע מ$\mathrm{f}(x) = 3x$.

נקודות ציר בכל ארבעת הרבעונים; צייר $y = mx + c$; ההרחבות ממצאות המשוואה העוברת דרך שני נקודות או דרך נקודה אחת עם שיפוע נתון, והשתמש $y - y_1 = m(x - x_1)$: דרך $(1, 7)$ ו$(2, 9)$, $m = 2$ ו$y = 2x + 5$. קווים מקבילים חולקים $m$; שיפועים מאונכים מכפלתם היא $-1$ (מפרט ישר, לא מדגם).

צייר ומפרש גרפים לינאריים, ריבועיים, קוביים והפכיים; ההרחבה תוספות מוסיפות פונקציות אקספוננציאליות $y = k^x$ עבור $k$ חיובי ואת גרפים טריגונומטריים (בדרגות) — שתי שורות המפרט אינן מוצגות במדגמים. דגמים. זיהה שורשים, ציונים ונקודות קיצון; ההרחפה מוסיפה DEDUCES turning points by completing the square: $y = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4$ has its minimum at $(3, -4)$ (specification line, not sampled). שיפועים ושטחים מתחת לגרפים (כולל גרפים ריבועיים ולא-ליניאריים) מוערכים הוערכה על ידי משיקים וטרפזיות, וב-ההרחבה מחושבת במדויק על ידי גזירה (פרק הבא).

בלוק החשבון ההרחבה: הבן והשתמש בפונקציית השיפוע $\dfrac{dy}{dx}$, גזירה של $kx^n$ עבור מספר טבעי $n$ (וסכומים), וידע ב- שהשיפוע של פונקציה בנקודה הוא השיפוע של המגע שם─ולכן חשב את משוואת המגע.

ערכי מדגם 2E (ציטוט משפחתי): עקומה עם $\dfrac{dy}{dx} = 15$ בנקודה נושא מגע $y = 15x - 36$. נקודות עצירות פותרות $\dfrac{dy}{dx} = 0$, ממוינים כ-מקסימום, מינימום או נקודות קעירות, עם עקומות גרפים שצוירו מה-נגזרות:

דוגמה פותרת: נקודות קיצון ומשיק. $y = x^3 - 12x + 5$: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 12 = 0$ נותן $x = \pm 2$. ב-$x = -2$, $y = 21$ (השיפוע משתנה מ-$+$ ל-$-$: מקסימום); ב- $x = 2$, $y = -11$ (מתחלף מ-$-$ ל-$+$: מינימום). ב-$x = 3$ השיפוע הוא $3(9) - 12 = 15$ והמשיק הוא $y + 4 = 15(x - 3)$, כלומר $y = 15x - 49$.

פתור משוואות ליניאריות (לא ידוע בשני האגפים), ריבועיות על פירוק גורמים ו- (הרחבה) על השלמת ריבוע ומשוואת הריבוע — הדוגמא 1E של $x = -3 \pm \sqrt7$ נובעת מ-$x^2 + 6x + 2 = 0$: $x = \tfrac{-6 ± \sqrt{36 - 8}}{2}$. זוגות סנכרוניים: שתי משוואות ליניאריות, ו-(הרחבה) אחת ליניארית עם אחת ריבועית. תלות (הרחבה): ישירה $y = kx^n$ ו- הפוכה $y = \tfrac{k}{x^n}$ במונחים אלגבריים (שורת הספק, לא בדגימה). דוגמה פותרת: לינארית וריבועית. פתר $y = x + 1$ ואת $x^2 + y^2 = 13$ יחד. הצב את המשוואה הלינארית בתוך הריבועית:

לכן $x = 2$, $y = 3$ או $x = -3$, $y = -2$. נתנו את התשובות כזוגות, ומצאו כל אחד מהם $y$ מהמשוואה הליניארית: העלאה בריבוע של $y^2 = 9$ תאפשר בטעות $y = -3$ עם $x = 2$.

Inequalities: linear in one variable, and (Extension) in one or two variables plus אי-שוויונות ריבועיים — פתור $x^2 - x - 6 > 0$ באמצעות ערכים קריטיים $x = -2, 3$: ריבועי חיובי, ולכן $x < -2$ או $x > 3$ (שורת ספציפיקציה, לא בדגימה).

יצור איברים לפי חוקים ממספר למספר וממיקום למספר; השתמש במשולשים, ריבועים ומספרים קוביים (בסיסי) עם תוספות הרחבה המכסות רצפי ריבועיים סדרות**: הפרשי משנה הם קבועים, והאיבר ה-nn הוא $an^2 + bn + c$ with $a = \tfrac12(\text{second difference})$. For $5, 9, 17, 29, 45, \ldots$: first differences $4, 8, 12, 16$, second difference $4$, so $a = 2$. ניקח $2n^2$ (שהיא נותנת $2, 8, 18, 32, 50$) והחסרה: שאריות ה-$3, 1, -1, -3, -5$ are linear, $-2n + 5$. So the nth term is $2n^2 - 2n + 5$ — check $n = 4$: $32 - 8 + 5 = 29$. ✓

*הוספת 3 בכל פעם: איבר n-th 3n + 2, ולכן האיבר השמיני הוא 26

• סימון מורחב; הצבה; סידור מחדש עם נושא פעמיים (A1–A3, הרחבה).
• פתיחת שני או שלושה בינומים; פירוק לזוכרים של כל הריבועיים וההפרש בין שני ריבועים; תשובות בעלות מעריך שברי; שברים אלגבריים ריבועיים (A4–A7, הרחבה; דגימות 1E/2E).
• הוכחה אלגברית פורמלית (A8, הרחבה; משפחת 2E n² + n + 9).
• פונקציות: הגדרה, תחום, טווח, פונקציה מורכבת fg, הפוך (A9, הרחבה; 2E fg(x) = (x−5)² + 1, 1E f⁻¹(x) = x/3).
• נקודות; משוואת ישר העובר בשתי נקודות או נקודה + שיפוע; שיפועים אנכיים (A10–A11; האחרונים לא נמדדו).
• גרפים ליניאריים, ריבועיים, קוביים, הפכיים, אקספוננציאלייםטריגונומטריים; נקודות קיצון על ידי השלמה לריבוע; הערכות שיפוע/שטח (A12, A16–A17; מספר ישרים לא נמדדו).
• גזירה של kxⁿ; שיפוע = שיפוע המשיק; משוואות משיק; נקודות עצירות מסווגות עם סקיצות (A13–A15, הרחבה; משפחת משיקי 2E).
• משוואות ליניאריות; ריבועיים בכל שלוש השיטות; סימולטניות ליניארי-ליניארית וליניארית-ריבועית (A19–A21, הרחבה).
• הקשר לתוכן אלגברי (A22, הרחבה); אי-שוויונים ליניאריים (משתנה אחד/שניים) וריבועיים עם קבוצות פתרונות (A23, הרחבה; לא נמדדו).
• סוגי רצפים; איברים נ-ים ליניאריים וריבועיים (A24–A26, הרחבה).

הערות שפה: אין דף נוסחאות ב9260. קווים שמסומנים "לא נמדדו" (שיפועים אנכיים, סקיצות אקספוננציאליות/טריגונומטריות, נקודות קיצון בהשלמה לריבוע, תלויות, אי-שוויונים ריבועיים ומשתנים שניים) הם מקורות הספקסיפיקציה; הדגימות הן רק ברמת הרחבה, ולכן לדרישות רמת הבסיס אין עדות מקומית. דוגמאות מועדות הן ערוכות מהזוג דגימות 2016 או ממקור.