לפני חישוב סדר, בדוק סגירות, אסוציאטיביות, אלוטרית והפוך לכל אלמנט תחת הפעולה המצוינת. תת-קבוצה יכולה להוריש אסוציאטיביות אך לכשל בסגירות או לחסום את האלוטרית. בקבוצה סופית, סדר אלמנט הוא החזקה החיובית הקטנה ביותר הנותנת את האלוטרית. בקבוצה האדיטיבית Z/nZ, סדר הרזידואל a הוא n/gcd(a,n). משפט לגראנג' אומר שסדרי תת-קבוצות מחלקים את סדר הקבוצה. ההפך אינו משפט קיום כללי, וסדר קבוצה אינו סדר כל אלמנט בה.
קוסט שמאלי gH הוא עתק של תת-קבוצה H. לקוסטים אותו גודל והם ממירים את הקבוצה, ולכן האינדקס הוא |G|/|H| בקבוצה סופית. בקבוצה אדיטיבית נכתוב g+H. השייכות לאותו קוסט פירושה שההפרש נמצא ב-H. קוסט בדרך כלל אינו תת-קבוצה עצמה מכיוון שהוא עשוי לחסום את האלוטרית.
הומומורפיזם שומר על הפעולה. הגרעין מורכב מאלמנטים שנשלחים לאלוטרית, והתמונה מורכבת מערכים שהושגו בפועל. כל גרעין הוא נורמלי. המשפט האיזומורפיזם הראשון מזדהה את G/ker(phi) עם im(phi); אל תחליף את התמונה בתחום הקודם כולו אלא אם הפונקציה היא על.
Quotient multiplication is well defined only when H is normal. All subgroups of an abelian group are normal. In a nonabelian group test gHg^−1=H; a subgroup of index two is normal. For permutations compose in the stated convention, here rightmost first. Disjoint cycle lengths give the permutation order by their least common multiple. Conjugation hσh⁻¹ relabels the elements in σ’s cycles, so it preserves cycle lengths; conversely permutations with the same cycle lengths can be related by a relabelling. Thus conjugacy classes in S_n correspond to partitions of n, including fixed-point cycles. In S4 the types are 1+1+1+1, 2+1+1, 2+2, 3+1 and 4: five classes, not one class for each possible element order. The types 2+1+1 and 2+2 both have order two but are not conjugate.
