C.3 · Differential equations and initial conditions

הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.

תנאי קבלה: נגזירה, אינטגרציה, מעריכים ומשוואות ריבועיות.

• פתרון משוואות פרמיטריות מסדר ראשון
• פתרון משוואות מסדר שני בעלות מקדמים קבועים
• שימוש בתנאי התחלה ותנאי יחידתיות

תנאי התחלה: ערך של הפתרון או הנגזירה שנקבע בנקודת התחלה.

שורש מאפיין: שורש של הפולינום המונח על פתרונות מעריכיים.

עבור y′=ky, הפרדה ואינטגרציה נותנות y=Ce^(kt); שחזר את הפתרון האפס אם הושמש בחלוקה ב-y. ערך התחלה קובע את C.

משוואה ליניארית מסדר שני בעלת מקדמים קבועים משתמשת בפולינום מאפיין. שורשים שונים מניבים מעריכיים; שורש כפול דורש (C1+C2t)e^(rt).

שורשים מרוכבים α±iβ נותנים את הפונקציה e^(αt)(C1 cos βt+C2 sin βt). התנועה הממשית כולבת גם מידע על משרעת וגם על פאזה.

קיום וייחוד תלויים בהנחות סביב הנקודה ההתחלתית. מקדם סינגולרי או חוסר התנהגות ליפיץ מקומית יכולים לבטל את מסקנת הייחוד המוכרת.

פתור y″+4y=0 עם תנאי ההתחלה y(0)=3 ו-y′(0)=4. השורשים האופייניים הם ±2i, ולכן y=A cos2t+B sin2t. התנאי הראשון נותן A=3; גזירה מניבה y′(0)=2B=4, ולכן B=2.

שורש אופייני כפול דורש גורם t; שתי העתקים של אותה פונקציה מעריכית אינם פתרונות בלתי תלויים.

פתור $y''-4y'+4y=0$ עם $y(0)=1$, $y'(0)=0$. בדוק את שני תנאי ההתחלה והמשוואה.

פתרון מודגש

הפולינום האופייני הוא $(r-2)^2$. פתרונות בלתי תלוים הם $e^{2t}$ ו-$te^{2t}$, ולכן $y=(C_1+C_2t)e^{2t}$. הערך ההתחלתי נותן $C_1=1$; הנגזרת באפס נותנת $2C_1+C_2=0$, ולכן $C_2=-2$.

ההצבה נותנת $y''-4y'+4y=0$, ושני הערכים ההתחליים מתקיימים. שני העתקים של $e^{2t}$ לא ייווצרו את מרחב הפתרונות.

הראה כי בעיית הערך ההתחלתי $y'=2\sqrt{|y|}$, $y(0)=0$ יש יותר מפתרון אחד עבור $t\ge0$. זיהה את ההנחה הסטנדרטית לחוסר החזרות החסרה.

בדיקה לאחר ניסיון

פתרון אחד הוא אפס זהה. עבור כל $a\ge0$, הגדר $y_a(t)=0$ עבור $0\le t\le a$ ו-$y_a(t)=(t-a)^2$ עבור $t>a$. הנגזרת היא אפס במרווח הראשון ו-$2(t-a)$ במרווח השני; לשני האגדים יש נגזרת אפס בנקודה a. לכן $y_a$ היא פונקציה נגזרת ומקיימת את המשוואה ואת הערך ההתחלתי. הצד הימני רציף אך אינו ליפיץ מקומית ב-y בנקודת אפס: $|2\sqrt h-0|/|h|=2/\sqrt h$ אינו חסום. קיום אינו מעיד על ייחוד, וחילוק ב-$\sqrt y$ יובדו פתרונות המתחלנות (waiting-time solutions).