T.3 · Complex analysis and residues

הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.

דרישות מוקדמות: אריתמטיקה מרוכבת, נגזרות חלקיות, סדרות ומסילות מכוונות.

• בדיקת נגזרות מורכבות
• שימוש באינטגרלי מסילה ושאריות
• חישוב אינטגרלי מסילה עם שאריות קוטבים פשוטים ועל-סדרתיים

אנליטית: נגזרת מורכבת בכל שכונה.

שארית: המקדם של (z−a)^−1 בסדרת לורן.

כתוב f(z)=u(x,y)+iv(x,y). נגזרות מרוכבות מטילה u_x=v_y ו-u_y=−v_x; עם נגזרות חלקיות ראשונות רציפות מקומית, משוואות קושי–רימן מבטיחות אנליטיות שם. הן שונות מנגזירות ממסרית של תפקיד דו-קואורדינתי. התפקיד המצומד x−iy אינו עומד במשוואות אלו בשום סביבה פתוחה, למרות שקיימות נגזרות חלקיות ממסריות. ציין את האזור הנבדק, ולא רק נקודה נוחה.

תפקיד אנליטי הוא נגזר מרוכבת בכל סביבה ומחזיק סדרת כוחות מתכנסת מקומית. סינגולריות הניתנת לסילוק יכולה להירפא אנליטית כאשר התפקיד חסום סמוך לנקודה החסרה. קוטב מכיל חלק ראשי סופי בסדרת לורן; סינגולריות מהותית מכילה אינסוף איברים בעוצמת שליליות. השארית היא המקדם של (z−a)⁻¹, ואינה בהכרח האיבר בעל העוצמה השלילית הגבוהה ביותר או המוביל.

עבור קוטב בודד של דרגה m, כתוב f(z)=g(z)/(z−a)^m כאשר g אנליטי ב-a. השארית היא g^(m−1)(a)/(m−1)!. קוטב פשוט משתמש ב-g(a); קוטב כפול משתמש ב-g′(a). הדבר נובע מפיתוח g בסדרת טיילור. כך ש-e^z/(z−a)² יש שארית e^a, בעוד שמונה קבוע מעל קוטב כפול טהור יש שארית אפס. דרגת הקוטב לבדה אינה קובעת את האינטגרל הקונטורי.

עבור קונטור בעל כיוון חיובי הסוגר סינגולריות בודדות, משפט השאריות נותן ∮f(z)dz=2πi כפול סכום השאריות הסגורות, בתנאי שהתפקיד אנליטי על הקונטור ובשאר הפנים הנדרשות. הפוך הכיוון יغير הסימן. נוסחת הנגזרת של קושי היא ∮g(z)/(z−a)^(m+1)dz=2πi g^(m)(a)/m! בתנאי התחום האנליטי שלה. סינגולריות על הקונטור מונעת יישום ישיר; סינגולריות מחוץ לתורמת כלום לקונטור זה.

עבור f(z)=conjugate(z), יש u=x ו-v=−y. אז u_x=1 אך v_y=−1, ולכן f אינה נגזרת מרוכבת. עבור 1/(z−2), מעגל עם כיוון חיובי |z−2|=1 חוסם קוטב פשוט עם מיאוד 1, ולכן האינטגרל הוא 2πi.

רציפות או נגזרות אמיתית לבדן אינן מעידות על אנליטיות מרוכבת.

השתמש במשוואות קושי–רימן כדי להשוות $z^2$ ו-$\overline z$. מצא את השארית של $e^z/z^2$ באפס ואת האינטגרל שלו סביב מעגל היחידה בכיוון נגד כיוון השעון.

פתרון מודגש

עבור $z^2$, $u=x^2-y^2$ ו-$v=2xy$: $u_x=2x=v_y$ ו-$u_y=-2y=-v_x$. הנגזרות החלקיות רציפות בכל מקום, ולכן התפקיד אנליטי בכל מקום. עבור $\overline z$, $u=x,v=-y$ ו-$u_x=1\ne-1=v_y$; הוא אינו נגזר מרוכבת בשום מקום. מכיוון ש-$e^z=1+z+z^2/2+\cdots$, המקדם של $z^{-1}$ ב-$e^z/z^2$ הוא 1. לכן השארית היא 1 והאינטגרל הוא $2\pi i$. הקוטב הכפול אינו מחייב שארית אפס.

חשב אינטגרל של $1/[z(z-2)]$ סביב $|z|=1$, תחילה נגד כיוון השעון ואז לפי כיוון השעון. האם ניתן להשתמש באותו ארגומנט של משפט השאריות עבור $|z|=2$?

בדיקה לאחר ניסיון

רק אפס נמצא בתוך מעגל היחידה. השארית שלו היא $\lim_{z\to0}1/(z-2)=-1/2$. לכן האינטגרל נגד כיוון השעון הוא $-\pi i$ והאינטגרל לפי כיוון השעון הוא $\pi i$. הקוטב ב-2 נמצא מחוץ ומתורמת כלום. המעגל $|z|=2$ עובר דרך קוטב. האינטגרל הקונטורי הרגיל אינו מוגדר בנוסחה זו; המשפט דורש אנליטיות על הקונטור. חריצה או הנחיה לערך ראשי יהיו בעיה אחרת, המוגדרת במפורש.