GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 6
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
תנאי קדם: ספירה סופית, הסתברות בסיסית, חוזרות וגזירות.
חזרה: כלל המקשר איבר בסדרה לאיברים קודמים.
בלתי תלויות הדדית: אירועים שאינם יכולים להתרחש יחד.
| English | עברית |
|---|---|
| recurrence/rɪˈkʌrəns/ | יחס גלגול |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | בלתי תואמים |
בחרו את דגם הספירה תחילה: בחירות סדורות של r פריטים שונים מ- n משתמשות ב- n(n−1)⋯(n−r+1), בעוד תת-קבוצות לא סדורות משתמשות ב- C(n,r). גרף פשוט מלא על n קודקודים מכיל קצה אחד לכל זוג קודקודים לא סדור, מה שמניב n(n−1)/2 קצוות; לולאות וקצוות כפולים ישנו את הדגם. עבור n ישרים במיקום כללי במישור, הישר ה-k חוצה את k−1 הישרים הקודמים בנקודות נפרדות ומוסיף k אזורים. הסכום הכולל הוא 1+n(n+1)/2; מקבילים או התנגשות משולשת מבטלים ספירה זו.
השתמשו בשלבים המשלימים לספירת לפחות תרחיש אחד, והתנפו על האוכלוסייה הנותרת בפועל לאחר גרירה ללא החזרה. עבור r תוצאות iid שנבחרו מתוך n ערכים שווה סיכוי, ההסתברות שכלם שונים היא n(n−1)⋯(n−r+1)/n^r כאשר r≤n. השלב המשלים סופר תוצאות חוזרות. עבור ספירה בינומית עם N ניסויים עצמאיים והסתברות הצלחה קבועה p, הממוצע הוא Np והשונות היא Np(1−p). הסתברות זהות לבדה אינה מגדירה עצמאות.
חזרה מתארת ערכים מאוחרים באמצעות ערכים קודמים ודורשת נתונים התחלתיים מספיקים כדי לקבוע סדרה. הפרידו בין המדד לערך: a_n=2a_(n−1) עם a_0=3 נותן a_n=3·2^n. ארגומנטים גרפיים ואלגוריתמיים קובעים לעיתים חזרה על ידי זיהוי מה שהקצה או השלב החדש מוסיפים. נוסחה סגורה צריכה לענות גם לחזרה וגם לתנאים ההתחלתיים שלה; התאמת כמה איברים נצפים אינה מוכיחה אותה לכל מדד.
קירוב מספי דורש ארגומנט שגיאה. שיטת מחצית שומרת על מרווח שמחליף סימן עבור פונקציה רציפה ומחצית את רוחבו בכל צעד; ייתכן שלא יהיה שורש אם הרציפות נכשלת. עדכון ניוטון הוא x_new=x−f(x)/f′(x), הדורש נגזרת לא אפס בנקודה הנוכחית; ההתכנסות אינה אוטומטית מכל נקודת התחלה. השארית של קירוב והשגיאה שלו ב-x הן שונות. ציינו הנחות השיטה ומצב עצירה, במקום להתייחס לספרות נוספות המוצגות כדיוק.
עבור f(x)=x²−2 ו-x₀=1, צעד ניוטון נותן 1−(1−2)/2=1.5. הערך הבא הוא 1.5−0.25/3=1.4167. אלו מקרבים sqrt(2), אך f′(0)=0 הופך את אפס לנקודת התחלה לא תקפה.
*ספרי "לפחות חזרה אחת" כתשלום של "כולם שונים"
אירועים עם probabilities חיוביים לא יכולים להיות גם עצמאיים וגם חסרי תלות הדדית.
ארבע גרירות עם תווית הן עצמאיות ואחידות מתוך חמישה סמלים, עם החזרה. מצאו את ההסתברות ששתי גרירות לפחות תואמות. השוו את מספר הבחירות הסדורות ולא סדורות של ארבעה סמלים שונים.
קיימים $5^4$ מחרוזות גרירה סדורות שוות סיכוי. מספר המחרוזות ללא חזרות הוא $5\cdot4\cdot3\cdot2=120$.
השתמש בשיטת מחצית ל$f(x)=x^3-2$ על $[1,2]$. תן את שני המרווחים הנשמרים הראשונים וגבול לשגיאת אמצע המרווח לאחר עשר מחציות. האם שינוי סימן בלבד מצדיק את השיטה עבור $1/x$ על $[-1,1]$?
הפולינום רציף; $f(1)<0<f(2)$. אמצע המחצית הראשון הוא $1.5$ עם ערך חיובי, ושומר על $[1,1.5]$. הבא הוא $1.25$ עם ערך שלילי, ושומר על $[1.25,1.5]$. לאחר עשר חלוקות, הרוחב הוא $2^{-10}$ והאמצע של הברקט שנשמר זה מזה שורש המוקף בברקטים ב-$2^{-11}=1/2048$. גבול השגיאה משתמש בברקט, לא רק בשארית קטנה. For $1/x$, zero is a singularity and there is no root. Continuity on the bracket fails; opposite endpoint signs do not justify the method.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…