GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 4
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
תנאי סף: חישוב שלמים, קבוצות, פונקציות והוכחה באמצעות נוגען.
הומומורפיזם: תמונה המשמרת את הפעולה הרלוונטית.
שדה: טבעה קומוטטיבית בה לכל אלמנט שאינו אפס יש מקביל.
| English | עברית |
|---|---|
| homomorphism/ˈhɒməmɔːfɪzəm/ | הומומורפיזם |
| field/fiːld/ | שדה |
קבוצה דורשת סגירות, אסוציאטיביות, זהות והפכים. קומוטטיביות היא תנאי נוסף.
הומומורפיזם משמר את הפעולה. הגרעין שלו הוא תת-קבוצה נורמלית ומזהה אלמנטים המתמחים לזהות.
שדה מאפשר חלוקה בכל אלמנט שאינו אפס. שלמים יוצרים טבעה אך לא שדה.
עבוד עם שאריות מודולו n. לשארית a יש מקביל כפולי בדיוק כאשר gcd(a,n)=1.
מודולו 8, 3 יש הופך 3 כי 3·3=9≡1. אך 2 אין לו הופך כי gcd(2,8)=2. מודולו מספר ראשוני, לכל שארית אי-אפס יש הופך; הדבר נותן שדה סופי.
אל תסיר גורם במשוואה מודולרית מבלי לבדוק שהוא מתהפך.
השוו את הקבוצות ההיברתיות והמבנים הכפולים של $\mathbb Z/5\mathbb Z$ ו$\mathbb Z/6\mathbb Z$. רשימת כל היחידות הכפוליות בכל אחת. הסבר מדוע הסרת האפס אינה משאירה תמיד קבוצה כפולית.
שתי קבוצות שאריות שלמות הן קבוצות אדדיטיביות: סגירות, אסוציאטיביות ואידינטי מופקות מהחיבור במספרים שלמים, ו-$-a$ הוא הפוך אדדיטיבי. שארית כפולית היא יחידה אם ורק אם הגורם המשותף הגדול שלה עם המודולוס הוא אחד. היחידות מודולו חמש הן $1,2,3,4$; מודולו שש הן $1,5$. מודולו שש, $2\cdot3=0$ למרות ששני הגורמים אינם אפס. הקבוצה שאינה אפס אינה אפילו סגורה תחת כפל. מודולו חמש כל שארית שאינה אפס יש לה מקביל; טבעה זו היא שדה. טבעה, קבוצת ההיברציה שלה וקבוצת היחידות שלה הן מבנים שונים.
המפתח הקיצור $\phi:\mathbb Z\to\mathbb Z/6\mathbb Z$ נתון על ידי $\phi(n)=[n]$. קבע את הגרעין, התמונה והמנה. פתור $2x\equiv2\pmod6$ במלואו והסבר מדוע ביטול 2 מודולו 6 נכשל.
המפתח משמר חיבור וכפל. הגרעין שלו הוא $6\mathbb Z$ והתמונה שלו היא כל שש השאריות. המנה מזהה שלמים בעלי אותה שארית, ולכן $\mathbb Z/\ker\phi\cong\mathbb Z/6\mathbb Z$. השארית פירושה $6\mid2(x-1)$, או equivalently $3\mid x-1$. לכן $x\equiv1\pmod3$, ונותן שאריות $1$ ו$4$ מודולו שש. שתיהן מחליפות נכון. ביטול 2 תוך שמירה על מודולו שש ידחיק 4; ל2 אין מקביל כפולי שם.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…