T.12 · Metric completeness and closure from a basis

הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.

תנאי קדם: אקסיומות מטר, סדרות קוצ'י וטופולוגיה מבסיס.

• לבדוק מטר מושך באמצעות תכונות הפונקציה המגדירה אותו
• לקבוע שלמות דרך התמונה של איזומטריה
• לקבוע סגירה באמצעות כל שכונה בסיסית במקום אינטואיציה אוקלידית

מרחב מטרי שלם: מרחב מטרי בו כל סדרת קוצ'י מתכנסת לנקודה במרחב עצמו.

בסיס שכונות: שכונות בסיסיות מספיקות לבדיקת תכונות טופולוגיות מקומיות.

עבור מיפוי חד-חד-ערכי h:X→R, הפונקציה d(x,y)=|h(x)−h(y)| היא מדד: סימטריה ואי-שוויון המשולש נובעים מ-R, והחד-חד-ערכיות מבטיחה ש-d(x,y)=0 רק כאשר x=y. המיפוי h הוא איזומטריה לתמונתו h(X). אם h אינו חד-חד-ערכי, הבנייה הזו עשויה להיות רק פseudometric. מרחקים מוגבלים אינם מוכיחים מרחב הוא מושלם, ומכפלה מוכרת של נקודות יכולה להתנהג בצורה שונה לחלוטין בהתנהגות קוצ'י תחת מדדים שונים.

המטר המושך הוא שלם בדיוק כאשר התמונה h(X) היא שלמה במרחק האמיתי הרגיל. תת-קבוע סגור ב-R הוא שלם. עבור h(x)=arctan x על R, התמונה היא (−π/2,π/2), שאינה כוללת את הקצוות שלה. הסדרה n היא קוצ'י במטר המושך כי arctan n→π/2, אך אין x ממשי עם arctan x=π/2, ולכן המטר אינו שלם. עבור h(x)=x³, התמונה היא כל R והמטר המושך הוא שלם. שקילות טופולוגית בלבד אינה שומרת על שלמות.

בטופולוגיה עם בסיס, x נמצא בסגירה של A כאשר כל שכונה פתוחה בסיסית של x חוצה את A. זוהי בדיקת השתייכות, ולא בהכרח פעולת קצה אוקלידית. הבסיס צריך לכסות את המרחב, ועבור נקודה בשתי שכונות בסיסיות חייבת להיות שכונה בסיסית קטנה יותר המכילה אותה בתוך החיתוך שלהן. ייתכן שנקודה תימצא בסגירה של יחידון גם כאשר היא אינה הנקודה היחידנית; אפשרות זו תלויה בטופולוגיה.

על X={2,3,4,…}, השתמשו בקבוצות בסיסיות U_k={n in X: n divides k}, עבור k≥2. הן מכסות את X כי x∈U_x; החיתוכים הם U_gcd(k,l) כאשר gcd הוא לפחות 2, או ריקים. נקודה x נמצאת בסגירה של {n} בדיוק כאשר כל k שמתחלק ב-x מתחלק גם ב-n: כלומר n מחלק את x. ישירות יותר, השכונה הבסיסית הקטנה ביותר U_x מכילה את n בדיוק כאשר n מחלק את x, וכל שכונה אחרת המכילה את x כוללת מחלקות אלו. מכאן שהסגירה של {8} מורכבת מכפלות חיוביות של 8, ולא מחלקות של 8.

תחת d(x,y)=|arctan x−arctan y|, הסדרה של מספרים שלמים שואפת לקצה תמונה חסר במקום לנקודה ב-R, ולכן היא קוצ'י ללא התכנסות במרחב זה. בבסיס מחלקים, ⟨16 נמצא בסגירת {8}, מכיוון שכל קבול בסיסי המכיל ⟨16 מכיל גם ⟨8. אך ⟨4 לא: U_4={2,4} הוא שכונה של ⟨4 שאינו מכיל ⟨8. זה מפריד במפורש כפולים ממחלקים.

גבול קוצ'י חייב שייך לאותו מרחב. השלמות היא תכונה מטריקלית, ולא רק טופולוגית. לעניין סגירה, יש לבדוק כל שכונה של הנקודה המועמדת, ולא כל שכונה של הערך הבודד.

על $\mathbb R$ השוו בין $d_1(x,y)=|x^3-y^3|$ לבין $d_2(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$. הוכיחו שהן מטריקות וקבעו שלמות.

פתרון מודגש

שני המיפויים המגדירים הם חד-חד-ערכיים, מה שמעניק הפרדה חיובית; מרחק מוחלט נותן סימטריה ואי-שוויון המשולש. כל מיפוי הוא איזומטריה לתמונתו הממשית. מיפוי הקובייה יש לו תמונה של כל $\mathbb R$, מרחב מושלם, ולכן d1 מושלם. תמונת הארקטנגנס היא הקטע הפתוח $(-\pi/2,\pi/2)$, שאינו מושלם. הסדרה n היא d2-קוצ'י כי arctan n שואף ל-pi/2, אך אין נקודה ממשית שתמונתה היא כזו, ולכן אין לה גבול ב-d2. ערכי מדד מוגבלים אינם גוררים שלמות.

על $X=\{2,3,4,\ldots\}$ השתמשו בבסיס המחלקים $U_k=\{n\in X:n\mid k\}$. מצאו את הסגירה של $\{6\}$ ואת הפנים של $\{6\}$. בדקו את תנאי הבסיס, כולל חיתוכים ריקים.

בדיקה לאחר ניסיון

כל x משתייך ל-Ux. חיתוך הוא ⟨$U_{\gcd(k,l)}$⟩ אם ה-gcd הוא לפחות שניים, והוא ריק עבור gcd אחד. לכן נקודה בחיתוך יש לה שכונה בסיסית בתוכו. השכונה הבסיסית הקטנה ביותר של x היא Ux, המכילה בכל Uk המכילה את x. היא חוצה את {6} בדיוק כאשר $6\mid x$. לכן הסגירה היא $\{6,12,18,\ldots\}$, הכפלה של שישה. הנקודה שש אינה בפנים של היחידון שלה כי U6 מכילה גם שתי ושלוש. אין נקודה אחרת ביחידון זה, ולכן הפנים שלו ריקים. חישוב סגירה זה משתמש בכל השכונות הבסיסיות, ולא באינטואיציה אוקלידית.