C.12 · Related rates and removable quotient limits

הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.

דרישות מקדימות: כלל שרשרת, צלב-חוצה מעגלי וגבולות.

• תרגם קצב גיאומטרי לגזירה של הכמות הרלוונטית
• גזור ונחלץ נוסחת נפח כיפה כדורית
• הפרד הארכה רציפה ממכפלת (quotient) מהארכה גזירה

קצב תלוי: קצב המתקבל בגזירת הקשר בין כמויות משתנות.

גבול מוסר: גבול סמוך סופי המשמש למילוי ערך פונקציה חסר בצורה רציפה.

עבור כמות V התלויה בעומק משתנה h(t), כלל השרשרת נותן dV/dt=V′(h) dh/dt. מיכל הנזהר יש לו dh/dt<0, ולכן dV/dt החתום הוא שלילי; גודל זרימת היציאה הוא המינוס שלו. צייר את הגיאומטריה וחבר לעומק הרגעי לפני ההצבה. אל תסתכל על הקצב כנפח סטטי מחולק בזמן חלף אלא אם המצב מגדיר בפועל קצב ממוצע קבוע.

A spherical tank of radius R has cross-section radius squared R²−(R−h)²=2Rh−h² at depth h from the bottom. Integrating these circular areas gives the cap volume V(h)=π(Rh²−h³/3), for 0≤h≤2R. Its derivative π(2Rh−h²) is the current cross-sectional area. At R=3,h=1,dh/dt=−1/4, signed volume rate is −5π/4 and outflow magnitude 5π/4. The formula works for both shallow and deep caps within the stated range.

אם f ו-g רציפות ופעמים נגזרות בסביבת האפס, f(0)=g(0)=0 ו-g′(0)≠0, אז f(x)/g(x שואף ל-f′(0)/g′(0). הדבר נובע מ-f(x)=f′(0)x+o(x) ו-g(x)=g′(0)x+o(x); רציפות g′ שומרת שהמנה מוגדרת בסביבה למעט באפס. מילוי גבול זה נותן הרחבה רציפה. הארגומנט אינו דורש f′(0) שונה מאפס, ואינו מוכיח שהמנה המורחבת נגזרת.

עבור f(x)=x|x| ו-g(x)=x, שניהן גזירות רציפות, f(0)=g(0)=0 ו-g′(0)=1. המכפלה שלהן עבור x≠0 היא |x|, שמרחיבה רציפה באפס אך יש לה גזירות חד-צדיות שונות שם. עבור (f²−f)/(2g−g³), פקטורize ל-(f/g)(f−1)/(2−g²); הגבול המוסר שלו הוא −f′(0)/(2g′(0)). פקטורים נוספים שואפים ל-1 ו-2. הבדל בין גבול המכפלה לבין גזירה של ההארכה שלה.

עבור כדור עם R=3 ועומק h=1, שטח החתך הוא π(6−1)=5π. ירידה בעומק של 1/4 ליחידת זמן מוציאה נפח בגודל 5π/4 ליחידת זמן. עבור f(x)=sin(2x), g(x)=3x, המנה מתרחבת באפס עם ערך 2/3. גבול זה אינו אומר דבר על גודל המיכל ואינו צריך להיות מוחלף כקצב נגזרת ללא זיהוי המשתנים התלויים.

השתמש בשטח החוצה הרגעי, לא בשטח כולל של המכל. דווח על שינוי נפח עם סימן או על יציאה חיובית לפי הדרישה. גבול מנה הסרתי סופי מקיים רציפות, לא נגזרות של המנה המלאה.

מיכל כדורי יש לו רדיוס 2 מ' ועומק מים h שנמדד מהתחתית. גזור את V(h). ב-h=1 מ' וב-$dh/dt=-0.1\ \mathrm{m/min}$, מצא שינוי נפח חתום וגודל זרימת יציאה.

פתרון מודגש

בעומק s, רדיוס הצלב-חוצה מקיים $r(s)^2=2Rs-s^2$. אינטגרציה של דיסקים נותנת $V(h)=\pi(Rh^2-h^3/3)$ עבור $0\le h\le2R$.

הניחו ש-f, g רציפות ופעמים נגזרות בסביבת האפס, $f(0)=g(0)=0$, $f'(0)=4$, $g'(0)=2$. מצאו את הגבול הניתן להסרה של $(f^2-f)/(2g-g^3)$. האילוץ הזה גורר נגזרות של המנה המורחבת? נתו דוגמה נגד הא implication כללית זו.

בדיקה לאחר ניסיון

מכיוון ש-g'(0) שונה מאפס, המכנה שונה מאפס בסביבת אפס למעט באפס. פקטורize את הביטוי כ$(f/g)(f-1)/(2-g^2)$. הגבול שלו הוא $(4/2)(-1)/2=-1$. גזירות מהדרגה ראשונה נותנת $f/g\to f'(0)/g'(0)$; היא לא נותנת שליטה מדרגה שנייה. לדוגמא נגד המצב שמשיא את הנגזרות הללו, השתמשו ב$f(x)=4x+x|x|$ וב$g(x)=2x$. פונקציות אלו הן רציפות ונגזרות. עבור x שונה מאפס, המנה הופכת ל$(2+|x|/2)(-1+4x+x|x|)/(2-4x^2)$. התפתחותה היא $-1+4x-|x|/4+O(x^2)$, מה שמוביל לנגזרות חד-צדדיות שונות. מכאן שההרחבה היא רציפה אך אינה נגזרת.