GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 3
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
דרישות מקדימות: משוואות ליניאריות, כפל מטריצות, פולינומים ושורשים מרוכבים.
rank: מימד התמונה של המרה ליניארית.
eigenvalue: סקאלר המקיים Av=λv עבור v שאינו אפס.
| English | עברית |
|---|---|
| rank/ræŋk/ | דרגה (רמטוריקה) |
| eigenvalue/ˈaɪɡənvæljuː/ | ערך איגן |
מרחב וקטורי ממשי סגור תחת ההוספה והכפלה הסקאלרית המוגדרת בו ועומד באקסיומות מרחב הווקטורים. בסיס הוא רשימה חופשית יוצרת: לכל וקטור יש נציגת קואורדינטות יחידה ברשימה זו. לבדוק חופש של עמודות מטריצה, פתור את המערכת ההומוגנית Ac=0; רק וקטור המקדמים האפס מצביע על חופש. קבוצה יוצרת עשויה להכיל וקטורים זרים, ולכן יצירה לבדה אינה הופכת אותה לבסיס.
חיבור שורות חושף צירים וחופשיים מבלי לשנות את קבוצת הפתרונות של מערכת ליניארית. דרגה היא מימד התמונה של העמודות, או בשווה מספר הצירים. נוליות היא מימד הגרעין: למפתח מתחום בעל מימד n, דרגה+נוליות=n. במערכת לא הומוגנית, שורה עם מקדם אפס ואגף ימני אי-אפסי מעידה על אי-התאמה; משתנים חופשיים נותנים פתרונות אינסופיים רק לאחר שהתאמה הוכחה. מימד הקודomain אינו חייב להיות שווה לדרגה.
מטריצה מרובעת הפוכה אם ובתנאי שקובעה אינו אפס, גרעינה הוא אפס ודרגה שווה לגודלה. טענות אלו אינן דורשות שכל הכניסה אינה אפס. קובעים של מטריצות משולשות הם מכפלת הכניסים באלכסון, ולכן מטריצה שתלויה במשתנה מרוכב עשויה להיות סינגולרית בשורשים מרוכבים שאינם מופיעים בחישוב המוגבל לממשי. החלפת שורות הופכת את סימן הקובע; חיבור כפולה של שורה אחת לשנייה אינו משנה אותו. בדוק סינגולריות לפני יישום נוסחת ההפוך.
וקטור עצמי הוא אי-אפסי ועובר Av=λv, ולכן ערכים עצמיים הם שורשים של det(A−λI). דיאגונליזציה דורשת בסיס מלא של וקטורים עצמיים בלתי תלויים על השדה הנבחר. ערכים עצמיים שונים נותנים וקטורים עצמיים בלתי תלויים, בעוד שערכים עצמיים חוזרים עשויים להניב מרחב עצמי קטן מדי. מטריצה סימטרית אמיתית בעלת בסיס עצמי אמיתי ואורטוגונלי. מטריצה אמיתית בעלת מימד אי-זוגי יש לה לפחות ערך עצמי אמיתי כי פולינום האופי האמיתי שלה בעל מעלה אי-זוגית; הדבר בלבד אינו מחייב דיאגונליזציה או שכל הערכים העצמיים יהיו אמיתיים.
A=[[1,1],[0,1]] בעלת פולינום מאפיין (1−λ)². וקטורים מיוחדים מקיימים y=0, ולכן המרחב המיוחד שלה הוא בעל מימד אחד. נדרשים שני וקטורים מיוחדים בלתי תלויים כדי לדיאגנליזות מטריצה 2×2; A אינה ניתנת לדיאגונליזציה.
*ערך עצמי חוזר נותן מטריצה דיאגונליזיבליה רק כאשר למרחב העצמי שלו יש מימד מלא
הכפל האלגברי של ערך עצמי אינו בהכרח שווה לממד של מרחב העצמי שלו.
עבור $T:\mathbb R^3\to\mathbb R^2$ עם $T(x,y,z)=(x+2y+z,2x+4y+2z)$, מצאו בסיסים לגרעין ולתמונה. פתרו $T(v)=(3,6)$ ו-$T(v)=(3,7)$.
השורה השנייה היא פי שתיים מהראשונה, ולכן הדרגה היא אחת. המשוואה ההומוגנית נותנת $x=-2y-z$.
תנו $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$. קבעו את ערכיה העצמיים, הקובעת והדיאגונליזציה שלה על $\mathbb R$ ועל $\mathbb C$. מצאו $A^n$ עבור שלמים $n\ge1$ ללא כפילות חוזרת.
הפולינום האופייני הוא $(2-\lambda)^2$ ו$\det A=4$. פתרון $(A-2I)v=0$ נותן $v_2=0$, ולכן למרחב האיגזר-ממדי יש מימד אחד על כל שדה. נדרשים שני איגזר-ווקטורים בלתי תלויים; המטריצה הפיכה אך אינה דיאגונליזציה על אף שדה. כתוב $A=2I+N$ במקום $N^2=0$. פיתוח בינומי קומוטטיבי משאיר רק שני איברים:
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…