GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 29
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
דרישות סף: כלל מכפלה, גבולות לא תקינים ואזורי אינטגרציה מישוריים.
אינטגרציה בחלקים: זהות אינטגרציה הנגזרת מכלל המכפלה עם איבר גבול.
סימטריית השתקפות: קשר בין ערכי פונקציית האינטגרנד בנקודות המשוקפות דרך אמצע המרווח.
| English | עברית |
|---|---|
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | אינטגרציה בחלקים |
| reflection symmetry/rɪˈflekʃn ˈsɪmətri/ | סימטריית השתקפות |
אינטגרציה בחלקים נובעת מכלל המכפלה: ∫u dv=uv−∫v du. עבור אינטגרלים מסוימים כלולו את איבר הגבול בשני הקצוות. עם I_n(x)=∫₁ˣ(ln t)^n dt, בחרו u=(ln t)^n ו-dv=dt. עבור n≥1 הגבול התחתון מתאפס, ונובע I_n=x(ln x)^n−n I_(n−1). סימן פלוס יהרוס את הזהות המופקת מהגזירה. שמרו על אותו גבול תחתון באיטרציה; שינויו משנה את הקבועים.
עבור אינטגרלים לא תקינים ראשית יישמו את הזהות בגבולות סופיים, ולאחר מכן תרצמו את הגבול האינסופי והאינטגרל הנותר. אם ∫₋∞^∞e^(−x²)dx=√π, הגדירו u=x ו-dv=x e^(−x²)dx עבור ∫x²e^(−x²)dx. מכיוון ש-v=−e^(−x²)/2 ו-x e^(−x²)→0 בשני האינסופים, הר moment השני המלא הוא √π/2. זוגיות נותנת את מומנט מחצית הקו החיובי √π/4. איבר הגבול המתאפס הוא חלק מהארגומנט, ולא תכונה אוטומטית של כל אינטגרל לא תקין.
כדי להפוך את ∫₀¹∫ₓ¹F(x,y)dy dx, תארו את המשולש 0≤x≤y≤1, ולאחר מכן כתבו אותו מחדש כ-∫₀¹אינטגרל מ-0 עד yF(x,y)dx dy. גם המרווח החיצוני וגם הגבולים הפנימיים משתנים; החלפת סימנים לבדה משנה את האזור. עבור F=e^(y²), אינטגרציה לפי x תתן ∫₀¹y e^(y²)dy=(e−1)/2. רציפות במשולש הסגור מאפשרת הפיכת סדר; מקרים עם singularities או אינטגרציה מותנית דורשים זהירות מוגברת.
אם פונקציה אינטגרבילית ב-[a,b] מקיימת f(a+b−x)=−f(x), השתקפות הופכת את האינטגרל לשלילי עצמו, ולכן לאפס. עבור sin(2mx)/sin x ב-[0,π] עם m שלם חיובי, ההשתקפות x↦π−x משנה את סימן המונה ושומרת על המכנה. הסינגולריות הנראית בקצוות הן מסוג ניתן להסרה: הגבולות הם 2m באפס ו-−2m ב-π. יש לבדוק גבולות אלו לפני השימוש בסימטריה; ביטול אינו מחליף אינטגרביליות.
עבור I₂(x)=∫₁ˣ(ln t)²dt, הרקורר נותן x(ln x)²−2I₁(x), כאשר I₁(x)=x ln x−x+1. לכן I₂=x[(ln x)²−2ln x+2]−2. הקבוע −2 מבטיח I₂(1)=0. בנפרד, הפיכת האינטגרל המשולש e^(y²) מייצרת גורם y מאורך ה-x הפנימי; השמדת גורם זה תחזיר את הקושי המקורי ותשנה את הערך.
אינטגרציה לא רגילה בחלקים דורשת גבולות קצה. בנה מחדש את האזור לפני היפוך הסדר. אינטגרנד מוחזר עם מראה מוזר חייב להיות אינטגרבילי, כולל כל הקצוות ההסרה.
חשבו $\int_0^1\int_x^1 e^{y^2}\,dy\,dx$ על ידי הפיכת סדר. תארו את האזור לפני ואחרי ההפיכה. נגזרו נוסחה עבור $I_2(x)=\int_1^x(\ln t)^2\,dt$, $x>0$.
האזור הוא $0\le x\le y\le1$. בסדר המופך, y נע בין אפס לאחד ו-x בין אפס ל-y. רציפות במשולש הסגור מאפשרת הפיכת סדר, ונובע $\int_0^1 ye^{y^2}\,dy=(e-1)/2$. אינטגרציה בחלקים עם $u=(\ln t)^2$, $dv=dt$ נותנת $I_2=x(\ln x)^2-2I_1$. מכיוון ש-$I_1=x\ln x-x+1$,
עבור מספר טבעי חיובי m, חשב $\int_0^{\pi}\sin(2mx)/\sin x\,dx$. נמק את קיימות האינטגרל בקצוות לפני שימוש בסימטריה.
גבולות הקצוות הם 2m באפס ו-2m ב-pi, לפי גבול הסינוס מהדרגה הראשונה. שתי הדיסרצינות הן מוסרות, ולכן הפונקציה המופרשת רציף היא אינטגרבלית. השתקפות $x\mapsto\pi-x$ שומרת על המכנה ומפכה את המונה. האינטגרל שווה למינוס עצמו ולכן הוא אפס. ביטול סימטרי לא יוכיח אינטגרבליות עבור דיסרטינות קצה אמיתית; הגבולות המוסרים הם קריטיים.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…