A.7 · LU factorisation and nullity of composed maps

הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.

תנאים מקדימים: פעולות שורה, מערכות טריangularיות ומימדיות ריג'-נלאטי.

• פתרו מערכת ליניארית מפוקחת באמצעות הצבה קדמית ואחורית
• יישמו החלפת שורות באופן אחיד כאשר נדרשת סיווג
• הגבירו את מימד הליבה של הרכבה באמצעות חיתוך תמונה וליבה

הצבה קדמית: פתרון מערכת טריangularית תחתונה החל מהמשוואה הראשונה כלפי מטה.

מימד נילה: מימד הליבה של מיפה ליניארית.

פירוק A=LU מבטא מטריצה מרובעת כ-L טריangularית תחתונה ו-U טריangularית עליונה. עם L בעלת אלכסון יחיד, ההצבה הקדמית פשוטה במיוחד. מטריצה הפוכה אינה חייבת לקבל את צורה זו ללא החלפת שורות: אפס באלכסון המוביל עשוי לדרוש חלופה. עבור PA=LU, פתרו Ly=Pb, ולאחר מכן Ux=y. החלופה פועלת גם בצד הימני וגם במטריצת המקדמים. אפסים ראשיים ראשיים אינם אפס מנמקים את הביטול הרגיל ללא חלופה, ולא את ההפיכות לבדה.

ב-Ly=b, חשבו את y מלמעלה למטה, בחיסום איברים שכבר נודעו; חלקו באלכסון הנוכחי אלא אם כן הוא אחד. ב-Ux=y, חשבו את x מלמטה למעלה. לכל משוואה החליפו חזרה בשורה המקורית כדי לבדוק. שימוש חוזר ב-LU עבור צדדים ימניים רבים חוסך חזרה על הביטול: פירוק צפוף לוקח עבודה מסדר קובייתי במימד, בעוד שכל פתרון טריangularי לוקח עבודה מסדר ריבועי. אריתמטיקה מדויקת יכולה לבדוק דוגמאות קטנות; סיווג מספרי מפחית בעיות עיגול מסוימות אך אינו יכול לסלק תנאי רעיל מהותי.

עבור B:V→W ו-A:W→Z, ker B מוכללת ב-ker(A∘B), אך האחרונה יכולה להיות גדולה יותר. הווקטורים הנוספים הם אלו המופעלות על ידי B לתוך ker A. הגבילו את B ל-ker(A∘B): התמונה שלה היא im B∩ker A והליבה שלה היא ker B. ריג'-נלאטי במיפה המוגבלת הזו נותנת dim ker(A∘B)=dim ker B+dim(im B∩ker A). החיתוך, לא כל הליבה של A, קובע את המימד הנילו הנוסף.

עבור אנדומורפיזמים של R⁶ עם נוליטי A=2 ונוליטי B=3, רתב B=3 וממד החיתוך יכול להשתנות בין 0 ל2. לכן הנוליטי של A∘B משתנה בין 3 ל5. הגבולות תלויים במרחב האמצעי המשותף: עבור תת-מרחבים ממדים r ו-s במרחב בעל מימד m, הממד שלהם בחיתוך נע בין max(0,r+s−m) למינימום (r,s). הפיכת הרכיב יכולה לשנות את הנוליטי שלה, גם אם AB ו-BA מוגדרת שניהם. בחרו מרחבים תואמים לפני יישום נוסחאות אלו.

נתון L=[[1,0,0],[2,1,0],[−1,3,1]], U=[[2,1,−1],[0,3,2],[0,0,4]], ו-b=(−1,−1,12). הצבה קדימה נותנת y=(−1,1,8). הצבה אחורית נותנת x₃=2, x₂=(1−4)/3=−1, ו-x₁=(−1−(−1)+2)/2=1. לכן x=(1,−1,2). כפל Ux נותן y וכפל Ly נותן b, בו-זמנית בדיקת סדר הגורמים.

פתור עם L קודם ועם U לאחר, והחלף את b אם PA=LU. נולות של רכישה אינה אוטומטית סכום של שתי הנולות; רק חיתוך התמונה-הליבה מוסיף לנולות B.

נתון $L=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$, $U=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ ו-$b=(5,12)^T$. פתרו LUx=b ואמתו במטריצה המכופלת. עבור PA=LU, היכן P פועל כאשר פותרים Ax=b?

פתרון מודגש

תחילה פותרים Ly=b: $y_1=5$, $2y_1+y_2=12$, ולכן $y_2=2$. לאחר מכן Ux=y נותן $x_2=1$ ו-$3x_1+1=5$, ולכן $x_1=4/3$. המטריצה המכפלת היא $A=\begin{pmatrix}3&1\\6&4\end{pmatrix}$; יישום שלה ל-$(4/3,1)^T$ נותן $(5,12)^T$. אם PA=LU, כופלים את המשוואה המקורית ב-P ופותרים Ly=Pb, ולאחר מכן Ux=y. חוסר ה-P ב-Pb פותר מערכת שונה.

נתונה A ו-B אנדומורפיזמים של $\mathbb R^5$ עם נוליטיים שניים ושלושה בהתאמה. מצאו את כל הנוליטיים האפשריים של AB, והסבירו גם את הגבול וגם את הישגיותו.

בדיקה לאחר ניסיון

רתב B הוא שניים. הצביעו את B לתת-מרחב $\ker(AB)$ לקבלת

שני התת-מרחבים בחיתוך הם בעלי ממד שניים בתוך חמישה, ולכן ממד החיתוך עשוי להיות אפס, אחד או שניים. לכן הנוליטי הוא 3, 4 או 5. כדי לממש כל מקרה, קחו $\ker A=\operatorname{span}(e_1,e_2)$ ותמונת B בהתאמה $\operatorname{span}(e_3,e_4)$, $\operatorname{span}(e_1,e_3)$ או $\operatorname{span}(e_1,e_2)$. בחרו כל B ברמת רתב שניים לעבר התמונה הזו. בנייה זו מוכיחה הישגיות ולא רק גבול מרווח רחב.