C.10 · Implicit differentiation and the inverse Jacobian

הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.

תנאי קדם: כלל שרשרת, הפכת מטריצות והנחות קיום מקומי.

• גזירה של מערכת אי-ספיקה מצומדת כמערכת ליניארית
• שימוש במסדר ג'קוביאן לא-אפס להצדקת הפכה מקומית
• הבדלה בין נגזרות חלקיות הפוכות לכללי הפוך סקלריים

מטריצת ג'קוביאן: המטריצה של הנגזרות החלקיות הראשונות של מפה בעלת ערך וקטורי.

הפוך מקומי: הפוך המוגדר על שכונות של נקודת קלט ונקודת יציאה מסוימות.

למיפה הניתנת F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)), היקוביאני הוא J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. שינויים קטנים מקיימים [dx,dy] (טרנספוז)=J[du,dv] (טרנספוז) עד לסדר ראשון. למציאת u_x תוך שמירה על y קבוע, גזרים את שתי משוואות ההגדרה לפי x: f_u u_x+f_v v_x=1 ו- g_u u_x+g_v v_x=0. אלו מערכת ליניארית מצומדת, ולא כללים סקאלריים בלתי תלויים להפוך.

אם f ו-g ניתנות לגזירה רציפה בסביבת הנקודה ו-det J=f_u g_v−f_v g_u אינו אפס שם, משפט הפונקציה ההופך מספק הפוך מקומי ניתן לגזירה. הנגזרת שלו היא J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. לכן u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J ו-v_y=f_u/det J. יש להעריך כל נגזרת בנקודה המתאימה. הפוך מקומי עשוי שלא להרחיב להפוך גלובלי.

עבור משוואות סמוכות H(u,v,x,y)=0 ו-K(u,v,x,y)=0, גזרו תוך שמירה על הקואורדינה החופשית המבוקשת. פתרו [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x] (טרנספוז)=−[H_x,K_x] (טרנספוז). הדטורמיננטה במשתנים המבוקשים u,v חייבת להיות שונה מאפס כדי להשתמש במשפט הפונקציה הסמוכה הרגיל. הסימנים בצד ימין נובעים מהעברת הנגזרות הידועות לצד השני. אם הדטורמיננטה מתאפסת, המשפט אינו מחייב; הוא לא מוכיח באופן עצמאי שאין הפוך או פתרון סמוך קיים.

הקיצור הסקאלרי du/dx=1/(dx/du) תקף להפוך בעל משתנה אחד עם נגזרה שאינה אפס, אך בדרך כלל אינו תקף למערכת מצומדת כי v משתנה כדי לשמור על y קבוע. עבור x=u+v,y=u+2v, J=[[1,1],[1,2]] בעל דטורמיננטה 1 והפוך [[2,−1],[−1,1]]. לכן u_x=2 בעוד ש-1/f_u=1. היקוביאני ההפוך ממיר רגישויות דיפרנציאליות; אינטגרל שינוי משתנים משתמש במקום זאת בדטורמיננטה המוחלטת לקנה מידה של שטח או נפח, ולא בתכונה הפוכה נבחרת.

קח x=u²+v ו-y=u−v. ב-(u,v)=(1,0), התוצאה היא (1,1), וה-J=[[2,1],[1,−1]] בעל נקבע −3. ההפוך הוא [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]], ולכן u_x=1/3 ו-v_y=−2/3 שם. הכפלת J בהפוך זו נותנת את המטריצה הזהות. ההפיכה 1/f_u=1/2 אינה u_x כי שינוי ב-u דורש גם שינוי ב-v כדי לשמור על y קבוע.

גזור את שתי המשוואות וצין איזו תוצאה מוחזקת קבועה. נקבע שאינו אפס מבטיח אינברס מקומי תחת תנאי הרגולריות; נקבע אפס אינו הוכחה לכך שלא ניתן. השתמש ברכיב הפוך לרגישויות ובנקבע המוחלט לאינטגרציה.

תנו $x=u^2+v,y=u-v$. בנקודה $(u,v)=(1,0)$, מצאו את היקוביאני ההפוך וארבע הנגזרות החלקיות ההפוכות. בדקו באמצעות כפל.

פתרון מודגש

התוצאה המתאימה היא $(1,1)$. היקוביאני הוא $J=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ עם דטורמיננטה -3, שאינה אפס. נגזרות חלקיות רציפות נותנות הפוך מקומי ניתן לגזירה. לכן

קראו שורות כ-(u_x,u_y) ו-(v_x,v_y), כולן בנקודת היציאה (1,1). הכפל נותן את זהות. במיוחד $u_x=1/3$, לא $1/x_u=1/2$: v משתנה כדי לשמור על y קבוע.

עבור $F(u,v)=(u^2-v^2,2uv)$, החליטו האם הנגזרת שלו הפוכה מחוץ לנקודת המקור והאם F היא הזרקטיבית גלובלית במישור הפנוי. מה מקימה נקודת אפס בדטורמיננטה באופן עצמאי?

בדיקה לאחר ניסיון

$\det DF=4(u^2+v^2)>0$ מחוץ לאפס, ולכן משפט הפונקציה ההופך מספק הפוך מקומי בכל נקודה כזו. אך $F(u,v)=F(-u,-v)$, ולכן היא אינה הזרקטיבית גלובלית במישור הפנוי. התאפשות הדטורמיננטה באפס אומרת שמשפט זה לא יכול להבטיח הפוך מקומי ניתן לגזירה שם. זוהי לא, באופן עצמאי, הוכחה כללית שאין הפוך קבוצתי-סטנדרטי מקומי שקיים למיפה כלשהי; לדוגמה, המיפה הסקלרית של הקובייה היא ביסקטיבית למרות שהנגזרת אפס באפס.