GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 24
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
תנאי סף: וקטורי קואורדינטות, מכפלות נקודתיות/צלביות ונורמות.
אורתוגונלי: בעל מכפלה נקודתית אפס במרחב מכפלה פנימית אמיתי.
מכפלת צלב: וקטור מאונך מכוון בשלושה ממדים שגודלו הוא שטח המצולע שנוצר על ידי שני הווקטורים.
| English | עברית |
|---|---|
| orthogonal/ɔːˈθɒɡənl/ | אורתוגונלי |
| cross product/krɒs ˈprɒdʌkt/ | כפל וקטורי |
עבור וקטורים אמיתיים אי-אפס u,v, מתקיים u·v=|u||v| cos θ. מכפלה נקודתית חיובית, אפסית או שלילית תואמת זווית חדה, ישרה או קהה קטנה בהתאמה. ההקשרה הסקאלרית של v לאורך u היא (v·u)/|u|; ההקשרה הווקטורית היא ((v·u)/(u·u))u. ההפרש מההקשרה הזו הוא אורתוגונלי ל-u. אל תבלבלו בין וקטור מוקשר לרכיב הסקאלרי הסימני שלו. הווקטור האפס אורתוגונלי לכל וקטור אך אין לו כיוון זוויתי מוגדר.
עבור וקטורים תלת-ממדיים, u×v מאונך לשניהם ואורכו |u||v| sin θ. חישוב קואורדינטות משתמש ב-(u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). אורך זה הוא שטח המצולע, ולכן למשולש שנבנה משני וקטורי קצה יש מחצית משטח זה. הפיכת הסדר שלהם הופכת את מכפלת הצלב אך שומרת על השטח. בנו את שני וקטורי הקצה מאותו קודקוד; צלב של שני וקטורי מיקום בלתי קשורים בדרך כלל מדד את המשולש הלא נכון.
המישור העובר בנקודה p עם נורמל n אי-אפס הוא n·(x−p)=0. המרחק מ-q למישור הוא |n·(q−p)|/|n|; המכנה נורמלי את קנה המידה של המשוואה. מכפלה משולשת סקאלרית u·(v×w) נותנת נפח מקבילית משופע סימני; הערך המוחלט הוא הנפח הגיאומטרי. אפס במכפלה משולשת אומר תלות של שלושת וקטורי הקצה, ולא בהכרח שכל זוג מהם מאונך או מקביל.
עבור ארבעה וקטורים מישוריים, ישנם שש מכפלות נקודתיות בלתי מסודרות. הקונפיגורציה e₁,−e₁,e₂,−e₂ כוללת שתי מכפלות שליליות וארבע אפסים; e₁,e₁,e₂,e₂ כוללת שתי מכפלות חיוביות וארבע אפסים. ארבעה וקטורים שאינם אפס לא יכולים להיות לכל זוג מכפלה נקודתית שלילית. סדר את הכיוונים שלהם סביב המעגל: כל רווח זוויתי רצופי חייב לעלות על 90°, מה שמחייב את סכום ארבעת הרווחים להיות מעל 360°. וקטור אפס לא יכול להציל דריכה שלילית מוחלטת, מכיוון שמכפלות הנקודה שלו מתאפסות.
עבור p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0), הצלעות הן u=(2,0,0), v=(0,3,0). המכפלה הווקטורית שלהן היא (0,0,6), ותוצאת שטח המשולש היא 3. עבור w=(3,4) ו-u=(1,0), ההפרשה הווקטורית היא (3,0) והשארית האנכית היא (0,4). המישור 2x−y+2z=6 בעל אורך נורמל 3, ולכן המרחק שלו מהראשית הוא 6/3=2.
גודל המכפלה הווקטורית הוא שטח המקבילית, ולכן יש לחלק אותו בחצי כדי לקבל את שטח המשולש. אפס במכפלה סקלרית הוא הוכחה אלגברית לאנכיות גם עבור וקטור אפס. במרחק למישור יש לחלק באורך הנורמל.
מפה $v=(2,3,6)$ על $u=(1,0,2)$. מצא את שטח המשולש עם קודקודים O, u ו-v. בדוק שהשארית של המיפוי מאונכת ל-u.
$v\cdot u=14$ ו-$u\cdot u=5$, ולכן המיפוי הווקטורי הוא $(14/5)u=(14/5,0,28/5)$. השארית היא $(-4/5,3,2/5)$, מכפלת הנקודה שלה ב-u אפס. מכפלת החוצה היא $u\times v=(-6,-2,3)$ בעלת נורמה שבע. שטח המשולש הוא חצי משטח המקבילית, כלומר $7/2$. שני וקטורי הקצה מתחילים ב-O; חיבור של וקטורי מיקום בלתי קשורים לא יחשב באופן כללי את המשולש המבוקש.
האם ארבעה וקטורים לא אפסיים ב-$\mathbb R^2$ יכולים להכיל שש מכפלות נקודה זוגיות שליליות מוחלט? תן הוכחה. כיצד האפשרות להכליל מכפלות אפס משנה את האפשרויות?
סדר את כיווניהם סביב המעגל. כל רווח רצופ חייב להיות גדול מ-$\pi/2$: אם רווח היה קטן או שווה ל-$\pi/2$, הזוג ההוא would have nonnegative dot product. ארבעה רוחבים מסוג זה יסכמו לסך גדול מ-$2\pi$, דבר בלתי אפשרי. לכן לא כל שש המכפלות יכולות להיות שליליות מוחלט. עם מכפלות אי-חיוביות, $e_1,e_2,-e_1,-e_2$ עובד: זוגות רצופים מאונכים וזוגות מול מול מכפלותיהן שליליות. וקטור אפס אינו יכול לקיים שליליות מוחלטת.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…