GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 22
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
תנאי קדם: משולשים דומים, נוסחת המרחק ומשוואות ריבועיות.
דמיון: שוויון של זוויות מקבילות ויחס משותף של אורכים מקבילים.
מיקוד: נקודה קבועה המשמשת בהגדרת מרחק של חוצת-פרקים.
| English | עברית |
|---|---|
| similarity/ˌsɪmɪˈlærɪti/ | דמיון |
| focus/ˈfəʊkəs/ | מקודד |
משולשים דומים כאשר זוויותיהם המקבילות זהות; יחס הצלעות המקבילות שלהם שווה. כתוב את ההתאמה בין הקודקודים במפורש. אם למשולש APQ הזווית A שווה לזווית A של ABC והזווית P שווה לזווית C, ההתאמה הסדורה היא A↔A, P↔C, Q↔B. ולכן AP/AC=AQ/AB=PQ/CB. הצלע AP נמצאת על AB אך מתאימה לAC; התאמה לפי מיקום הצלע או לפי האות P עשויה לתת יחס שגוי.
עם גורם קנה מידה ארוך k>0, אורכים מכפילים ב-k, שטחים ב-k² ונפחים ב-k³. עלייה של 30% באורך פירושה k=1.30, ולכן עלייה בשטח של 1.30²−1=0.69, או 69%; זה אינו 60%. עבור גופים דומים עם יחס נפח של 27, יחס האורכים הוא 3 ויחס השטחים 9. שינויי אחוזים והפרשים מוחלטים הם כמותות שונות; כתוב את היחס החדש-ל ישן לפני המרה לאחוזים.
מעגל קובע מרחק לנקודה אחת. אלפסה קובעת את סכום המרחקים לשני מיקודים. היפרבולה קובעת את הערך המוחלט של ההפרש בין המרחקים הללו; פרבולה קובעת שוויון של מרחק למיקוד ולמכוון (directrix). אלו הגדרות של קבוצות נקודות, לא טיוטות לשינון. עבור מיקודים (−c,0) ו-(c,0), אלפסה משתמשת בסכום 2a כאשר a>c. היפרבולה שאינה דגנרטיבית משתמשת בערך מוחלט של ההפרש 2a כאשר 0<a<c; הפרש ממוסמן מבדיל בין שני הענפים שלה.
עבור ההיפרבולה עם ציר מעבר אופקי, c²=a²+b² והמשוואה היא x²/a²−y²/b²=1. יהי r_A המרחק ל(-c,0) ו-r_B המרחק ל(c,0). התנאי r_A−r_B=2a>0 בוחר את הענף הימני x≥a; התנאי השלילי בוחר את השמאלי. הריבוע עלול לאבד את המיסום, ולכן יש לבדוק את תנאי המרחק המקורי לאחר קבלת המשוואה. הפרש אפס נותן את האנכי האופק כמחלקת מאונך ולא היפרבולה; הפרש העולה על הפרידה בין המיקודים בלתי אפשרי לפי אי-שוויון המשולש.
נתון AB=10, AC=15 ו-BC=20. נקודה P על AB מקיימת AP=6, ו-Q על AC גורמת לכך שזווית APQ שווה לזווית ACB. אזי AP/AC=6/15=2/5, ולכן PQ=8 ו-AQ=4. בנפרד, צירים ב-(−5,0),(5,0) ומרחק שמאלי פחות מרחק ימני השווה ל6 נותנים a=3, b²=25−9=16: x²/9−y²/16=1 כאשר x≥3. הנקודה (−3,0) מקיימת את המשוואה הריבועית אך אינה עומדת בתנאי החתום.
התאם זוויות לפני צלעות. אחוזי שטח משתמשים בריבוע של גורם האורך. משוואת מרחק ריבועית עשויה לתאר את שני הענפים גם כאשר הבעיה המקורית דורשת רק אחד.
גופים דומים יש להם יחס שטח 9:25. מצא את יחסי האורך והנפח המתאימים. הסבר מדוע התאמת קודקודים חשובה לפני יצירת יחס משולש.
שורש ריבועי חיובי נותן יחס אורך 3:5. הוראה בחזקה שלישית נותנת יחס נפח 27:125. יחס השטח אינו עצמו קנה מידה ארוך. קודקודים מקבילים חייבים להתאים לזוויות שוות; אחרת היחסים עשויים להשוות צלעות שאינן קשורות. הדמיון הוא הנחה כאן; יחסי שטח לבדם אינם מוכיחים שגופים אקראיים הם דומים.
עבור מיקודים $A=(-5,0)$ ו$B=(5,0)$, מצא את המקום הגיאומטרי $|PA|-|PB|=6$. נגזר את המשוואה הסטנדרטית, בחר את הענף ובדוק את הקודקוד ביחס שאינו רבוע. מה קורה אם ההפרש המבוקש הוא 12?
כתוב $r_A=\sqrt{(x+5)^2+y^2}$ ו-$r_B=\sqrt{(x-5)^2+y^2}$. התנאי המקורי הוא $r_A-r_B=6$. מכיוון ש-$r_A^2-r_B^2=20x$, כפילת הפרש המרחקים בסכומם נותנת $r_A+r_B=10x/3$. לכן $r_B=5x/3-3$, שחייב להיות אי-שלילי. הריבוע של שוויון זה נותן $(x-5)^2+y^2=(5x/3-3)^2$. פתיחת סוגריים ואיסוף נותן $16x^2/9-y^2=16$. מכאן שהמרחק למרכז החצי הוא c=5, הפרש החצי הוא a=3, וההיפרבולה היא $x^2/9-y^2/16=1$, בהשתמש ב-$b^2=c^2-a^2=16$. הפרש החיובי המקורי בוחר את הענף הימני $x\ge3$. בנקודה $(3,0)$ המרחקים הם 8 ו-2, והפרש הוא שישה; בנקודה $(-3,0)$ הפרש הוא מינוס שישה. הריבוע לבדו שומר על ענף זה לא תקין. פרש בגודל 12 חורג מ-$|AB|=10$ ואינו אפשרי לפי אי-שוויון המשולש ההפוך.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…