GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 21
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
דרישות מוקדמות: טבלאות הסתברות, ציפוי, סטיית תקן ומידה עצמאית.
הסתברות אפוסטריורי: הסתברות תנאית על העדויות שנצפו לאחר התחשבות בשיעורים הקודמים.
שגיאת תקן: סטיית התקן של סטטיסטיקה בכל דגימות חוזרות.
| English | עברית |
|---|---|
| posterior probability/pɒˈstɪərɪə ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | הסתברות אפוסטריורית |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | שגיאה סטנדרטית |
עבור P(B)>0, P(A|B)=P(A∩B)/P(B): יש להגביל את האוכלוסייה ל-B לפני חישוב השבר ב-A. עצמאות פירושה P(AB)=P(A)P(B), או באופן שקול P(A|B)=P(A) כאשר המכנה אינו אפס. אירועים בלתי תואמים עם הסתברות חיובית אינם יכולים להיות עצמאיים, מכיוון שההסתברות המשותפת שלהם היא אפס. מדידה ללא החזרה משנה בדרך כלל את ההסתברות הבאה; מכנה קבוע למדידות רצופות היה מתאר ניסוי שונה.
בניית הסתברות משותפת על ידי כפל שיעור קטגורי קודם עם ההסתברות התנאית הרלוונטית. אם D היא התנאי ו-+ תוצאה חיובית, P(D∩+)=P(D)P(+|D). ההסתברות הכוללת החיובית היא P(D)P(+|D)+P(not D)P(+|not D), מכיוון שאלו אינן תואמות ומכסות כל תוצאה חיובית. ברייס מחלק את ההסתברות המשותפת הראשונה בסך זה. רגישות היא P(+|D), בעוד ספציפיות היא P(−|not D); שיעור החיובים השגויים הוא אחד מינוס הספציפיות.
עבור בדיקה היפותטית עם תפוצה של 2%, רגישות של 90% וספציפיות של 95%, השתמש באוכלוסייה של 10,000 לשם בהירות. מתוך 200 אנשים עם המצב, 180 נמצאים חיוביים. מתוך 9,800 ללא המצב, 490 נמצאים חיוביים. לכן 180 מתוך 670 תוצאות חיוביות מכילות את המצב: אפוסטריורי 18/67, כ-26.9%. הפיכת התנאות תני 90%, ותשובה לשאלה שונה. זהו מודל מתמטי, ולא המלצה לגבי החלטות קליניות.
עבור תצפיות עצמאיות ואחידות בחלוקה עם סטיית תקן סופית σ², לממוצע הדגימה יש ציפוי μ ושונות σ²/n; שגיאת התקן שלו היא σ/√n. זהו פיזור ממוצעי דגימות חוזרות, ולא פיזור תצפיות בודדות. הכפלת n פי ארבע מחצית את שגיאת התקן, ולא מחלקת אותה בארבע. נתונים מאוכלוסייה נורמלית נותנים ממוצע נורמלי בדיוק; אחרת קירוב גבול מרכזי דורש תנאים מספקים וגודל דגימה. קורלציה מבטלת את חישוב השונות העצמאית הפשוטה.
$P(A\mid B)=n(A\cap B)/n(B),\quad n(B)>0$
Use the lesson’s table to compare a conditional probability, its reverse and a whole-cohort probability. The highlighted group is the denominator.
נתון P(A)=0.4, P(B)=0.5 ו-P(A∩B)=0.3. אזי P(A|B)=0.6, ולכן A ו-B אינם עצמאיים, שכן 0.3≠0.4·0.5. אם למשתנה סטיית תקן 12, לדוגמה עצמאית בגודל 36 יש שגיאת תקן של הממוצע 2. הגדלת גודל הדוגמה ל-144 נותנת 1; סטיית התקן של תצפית יחידה נשארת 12.
$\mathrm{SD}(\bar X)=\sigma/\sqrt n$
Changing n changes the standard error, not the population standard deviation. Normal probabilities require an explicit distribution model.
אל תפוך את P(+|D) ל-P(D|+). כלול תוצאות חיוביות שגויות במכנה הפוסטריורי. לסטיית התקן של תצפיות יחיד ולטעות התקן של הממוצע שלהם יש התנהגות שונה בקשר לגודל הדוגמה.
במודל נתון, 10% מהמכשירים הם בעלי פגם. בדיקה חיובית עבור 80% מהמכשירים הפגומים ו- 5% מהמכשירים שאינם פגומים. מצא את ההסתברות לפגם נתון תוצאה חיובית באמצעות 1000 מכשירים מצופים.
הספירות המצופות הן 100 פגומים ו-900 שאינם פגומים. הספירות החיוביות הן $100(0.8)=80$ ו-$900(0.05)=45$, בהתאמה. הקבוצה המותנית מכילה 125 חיוביים, ולכן
תצפיות עצמאיות יש להן שונות 25. מצא את שגיאת התקן של הממוצע עבור n=100. אם במקום זאת לכל זוג נפרד יש קווריאנס 1, מצא את שונות הממוצע. האם הכפלת n פי ארבע חייבת לחצות את שגיאת התקן במודל השני?
עצמאות נותנת $\operatorname{Var}(\overline X)=25/n$ וב-100 שגיאת תקן $5/10=0.5$. עם קווריאנס אחד,
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…