C.2 · Multivariable calculus and vector analysis

GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 2

הצגת שקפים אימון

היקף ותנאי מקדימים

הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.

תנאי הקדמה: נגזרות של משתנה אחד, מכפלות נקודתיות ואינטגרציה חוזרת.

לחשב נגזרות חלקיות, גרדיאנטים ונגזרות כיווניות
להשתמש באינטגרלים מרובים ובשינויי מערכת צירים
להשתמש בתנאי נגזרה כדי להבחין בין מישורים לבין משטחים מעוגלים

גרדיאנט: וקטור של נגזרות חלקיות.

יאקוביאני: קפיצת השטח או הנפח המקומית בשינוי מערכת צירים.

בחר ונמק שיטה

נגזרה חלקית משנה כיוון אחד בעוד שהאחרים נשמרים קבועים. עבור f=x²+3xy, נגזרת_x=2x+3y ונגזרת_y=3x. הגרדיאנט מאגד נגזרות אלו; אם f נגזירה, הנגזרת הכיוונית לאורך וקטור יחיד v היא grad f·v. תקנו את הכיוון לפני ביצוע מכפלת הנקודה. וקטור כיוון באורך שתיים יכפיל את התשובה אם יושמש ללא תקנון.

נגזירותיות פירושה קירוי לינירי תקף, ולא רק קיום של נגזרות חלקיות כלשהות בנקודה אחת. רציפות של נגזרות ראשונות בסביבה הוא תנאי מספיק. עבור הרכבה f(x(t),y(t)), הכללה נותנת f_x x′+f_y y′. נגזרות שניות יכולות להכיל גם איברים ישירים וגם מעורבים; אפס של נגזרה מעורבת בלבד אינו מטיל מגבלה על נגזרות שניות טהורות.

אינטגרל מרובים סוכם תרומות על אזור מצוין. תארו את האזור לפני בחירת גבולות חוזרים; גבולות שאינם מלבניים עשויים להשתנות כאשר סדר השינוי משתנה. במערכת קוטבית השטח הוא r dr dtheta, לא רק dr dtheta. שינוי מערכת צירים כללי משתמש בערך המוחלט של קובץ היאקוביאני. סימן שייך לכמויות וקטוריות מכוונות, בעוד שקפיצת שטח ונפח משתמשים בגורל אי-שלילי.

אם כל הגזירות החלקיות הראשונות של פונקציה המוגדרת בגוף R² הן קבועות, כלומר f_x=a ו-f_y=b, האינטגרציה העוקבת נותנת f=ax+by+c, מישור. לא ניתן להסיק זאת רק מהסטות מקבילות: e^x יש לו סטות מקבילות אנכיות אך גרף מעוגל. גם התנאי f_xy=f_yx=0 אינו מחייב מישור: x²+y² הוא דוגמה נגדית. יש להבחין בין קבועות גזירה ראשונה לבין העדר תלות מעורבת ובין צורת הסטות הנבחרות.

הסבר מוסבר

עבור f(x,y)=x²+3y², הגרדיאנט של f=(2x,6y). בנקודה (1,1) זה שווה ל-(2,6). בכיוון (3,4), הווקטור היחיד הוא (3/5,4/5), מה שמספק נגזרת כיוונית 2·3/5+6·4/5=6.

Elliptical contours of x² + 3y², with the gradient arrow at (1, 1) pointing along (2, 6) *הגרדיאנט ((2, 6)) ב-((1, 1)) מאונך לסטה ומצביע למעלה

מילון מונחים אימון

English	עברית
gradient/ˈɡreɪdɪənt/	גרדיאנט
Jacobian/dʒæˈkəʊbɪən/	ג'קוביאני

תנאים ותשובות נגד

וקטור כיוון שאינו יחיד מספק קצב כיווני מושכל, ולא הנגזרת לפי יחידת מרחק.

יישום מכוון

עבור $f(x,y)=x^2+xy+2y^2$, מצאו את הגזרה הכיוונית ב-$(1,-1)$ לכיוון $(3,4)$. חשבו $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ עבור העיגול היחיד $D$.

פתרון מודגש

הפולינום נגזר. תקנו את הכיוון: $u=(3/5,4/5)$. הגרדיאנט הוא $(2x+y,x+4y)$, ולכן $(1,-3)$ בנקודה.

$$D_uf(1,-1)=\nabla f(1,-1)\cdot u=1\cdot3/5-3\cdot4/5=-9/5.$$

מערכת קוטבית נותנת $x^2+y^2=r^2$ ו$dA=r\,dr\,d\theta$:

$$I=\int_0^{2\pi}\int_0^1r^3\,dr\,d\theta=\pi/2.$$

העברה עצמאית

הגדר $g(x,y)=xy/\sqrt{x^2+y^2}$ הרחוק מהמוצא ומ$g(0,0)=0$. שני הנגזרות חלקיות במוצא הן אפס. האם $g$ נגזרת שם? האם היא רציפה?

בדיקה לאחר ניסיון

לאורך כל ציר $g=0$, ולכן שתי הנגזרות החלקיות הן אפס. הרציפות נובעת מ$|xy|\le(x^2+y^2)/2$, המעניק $|g(x,y)|\le\sqrt{x^2+y^2}/2\to0$. אם הייתה גזירה, הגזירה הליניארית שלה הייתה אפס. לאורך $x=y=t\ne0$,

$$\frac{|g(t,t)|}{\sqrt{t^2+t^2}}=\frac12.$$

יחס השארית הנדרש אינו שואף לאפס. לכן רציפות וקיום נגזרות חלקיות אינם מבטיחים נגזירות.