GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 19
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
תנאי קדם: תחומי פונקציה, משוואות ריבועיות והרכבה.
בנייה: פונקציה שגם אי-חיסוק וגם שכיפה בין הקבוצות המצוינות שלה.
היפוך עצמי: פונקציה שההרכבה שלה עם עצמה היא זהות בתחומה.
| English | עברית |
|---|---|
| bijection/baɪˈdʒekʃn/ | ביunction |
| involution/ɪnvəˈluːʃn/ | אינבולוציה |
פונקציה מ asignates בדיוק תוצאה אחת לכל קלט מותר. אי-חיסוק פירושו שתוצאות שוות מחייבות קלטים שווים; שכיפה פירושה שכל אלמנט בקודמת המצוינת מושג. המפתח x↦x² מ- R ל-[0,∞) הוא שכיף אך לא אי-חיסוק. מ-[0,∞) ל-[0,∞) הוא גם כן, ולכן בנייה. מ-[0,∞) ל- R הוא נשאר אי-חיסוק אך מאבד שכיפות. שמור על התחום, התמונה והקודמת כנפרדים בבדיקת כל טענה.
פונקציה הפוכה הופכת בנייה. פתר y=f(x) עבור x, ואז השתמש בתחום המקורי כדי לבחור ענף. עבור f(x)=(x−2)²−5 עבור x≥2, ההפוך הוא 2+√(y+5) עבור y≥−5. הענף השלילי יחזיר קלטים מחוץ לתחום הנבחר. בדוק f⁻¹(f(x))=x עבור x מותר ו f(f⁻¹(y))=y עבור y מותר; הרכבה אחת שלא נבדקה עלולה להסתיר טעות תחום.
גרף ההפוך מחזיר את הגרף המקורי ביחס ל-y=x; הוא אינו לוקח הפוכים של ערכי התוצאה. פונקציה היפוך עצמי, או היפוך, מקיימת f(f(x))=x בכל מקום שההרכבה מוגדרת. גם −x על R וגם 1/x על R מלבד אפס הם היפוכים. היפוך מוזהב מוחד על interval חייב להיות זהות: אם f(x)>x, הוהדות נותנת f(f(x))>f(x)>x, והארגומנט האנלוגי שולל f(x)<x.
האיטרציה fⁿ מתייחסת להרכבה חוזרת, ולא לחזקה (f(x))ⁿ. חשבו את ההרכבות הראשוניות ובדקו את התחומים שלהם לפני חיפוש מחזוריות. עבור f(x)=1/(1−x) ב-R שמוחקים 0 ו-1, מתקיים f²(x)=(x−1)/x ו-f³(x)=x. התמונה נשארת באותו תחום מותר. לכן יש לצמצם את מספר האיטרציות לפי מודולו שלוש. נוסחה המוצגת השווה ל-x לאחר ביטול אינה משחזרת קלטות אסורות.
עבור f(x)=(x−2)²−5 עם x≥2, מתקיים f(5)=4 ו-f⁻¹(4)=2+√9=5. הרבוע ללא מגבלות היה יוצר שני קלטים, −1 ו5, עם תפוקה 4. עבור g(x)=1/(1−x), האורביט 3→−1/2→2/3→3 היא בת תקופה שלוש, ולכן g⁸(3)=2/3; הספירה מתייחסת להרכבות, לא לחזקות eighth.
שינוי הקודומיין משנה את השריון. החזר אנכי לאורך y=x הוא גרף הפוך; הופכת ערכי y היא פעולה שונה. אל תבטל קלטים אסורים.
הגבילו את $f(x)=(x-1)^2+2$ לתחום $x\ge1$. ציינו את התמונה והפוך, כולל התחומים. ודאו את שתי ההרכבות ההפוכות.
התמונה היא $[2,\infty)$. פתרון $y=(x-1)^2+2$ עם $x\ge1$ בוחר את $x=1+\sqrt{y-2}$. ולכן $f^{-1}:[2,\infty)\to[1,\infty)$ מקבל את הנוסחה הזו. עבור x מותר, מתקיים $1+\sqrt{(x-1)^2}=x$ מכיוון ש-$x-1\ge0$. עבור y מותר, מתקיים $(\sqrt{y-2})^2+2=y$. ענף השורש השלילי שייך להגבלה אחרת, ולא להפוך נוסף על אותו תחום.
תנו $h(x)=1/(1-x)$. קבעו את התחום של $h\circ h\circ h$ ואת הנוסחה שלו. האם ניתן להרחיב את הביטוי המופשט לנקודות המוחקות מבלי לשנות את ההרכבה המקורית?
The first stage requires $x\ne1$. The second requires $h(x)\ne1$, which excludes x=0. For $x\ne0,1$, $h^2(x)=(x-1)/x$. This never equals one, so the third stage adds no exclusion. Then $h^3(x)=x$ on $\mathbb R\setminus\{0,1\}$. The identity formula is defined more widely, but adding 0 or 1 defines an extension, not the original composite. Each intermediate input must be permitted before cancellation.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…