C.7 · Coordinate changes and vector integral theorems

הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.

תנאי קדם: אינטגרלים כפולים, נגזרות חלקיות וגבולות מכוונים.

• לשנות אינטגרלים כפולים ושלושיים עם היקוביאנים שלהם
• להפעיל את משפט גרין, סטוקס ומשפט ההתפשטות עם כיוון נכון
• לבדוק singularities של התחום לפני הטענת עצמאות מסלול

התפשטות: סכום הנגזרות החלקיות של רכיסי שדה וקטורי המודד זרימה חיצונית מקומית.

שדה שמרני: שדה וקטורי השווה לגרדיאנט פוטנציאל סקלרי עם אינטגרלי קו עצמאיים ממסלול.

שינוי משתנים משנה את השטח או הנפח לפי ערך מוחלט של קובץ יקוביאני. קואורדינטות קוטביות משתמשות ב- r dr dtheta; קואורדינטות צילינדרישיות משתמשות ב- r dr dtheta dz; קואורדינטות כדוריות עם פי מודד מהציר z החיובי משתמשות ב- rho² sin(phi) dρ dphi dtheta. ציין קונבנציות זווית והמרה גם את פונקציית האינטגרציה וגם את האזור. חוסר קובץ יקוביאני הופך אינטגרל צפיפות אחידה לכמות פיזיקלית שגויה.

משפט גרין מקביל את אינטגרל הסירקולציה על הגבול המסודר חיובית P dx+Q dy לאינטגרל הכפול של Q_x−P_y על האזור. ההנחות המקובלות דורשות פונקציות ריבועיות רציפות בערכת פתוחה המכילה את האזור. חור דורש גבול פנימי מסודר negatively, או טיפול תקין אחר לתחום החסר. המשפט אינו יכול לבצע אינטגרציה דרך singularities של שדה.

משטור סטוקס מקביל את הסירקולציה על גבול משטח לאינטגרל השטח של curl F כפול הנורמל המסודר. כלל היד הימנית מקשרת כיוון הגבול לנורמל. משטור הדיוורגנס מקביל את הפלוקס החוצה על פני סגור לאינטגרל הנפח של div F. סירקולציה, פלוקס, קורל ודיוורגנס הם מושגים נפרדים; פני סגור נדרשים למשטור הדיוורגנס המקובל.

שדה גרדיאנטי בעל אינטגרלי קו בלתי תלויים במסלול, נקבעים בהבדלי פוטנציאל בין נקודות הקצה. שדה חסר קורל (curl-free) וריבוע רציף בערכת פתוחה פשוטה הוא שמרתי. חסר קורל לבדו בערכת פתוחה עם חור אינו מספיק. עבור F=(−y/(x²+y²),x/(x²+y²)), המקור אינו מוגדר; הסירקולציה על עיגול יחיד היא 2π, למרות שהקורל הוא אפס בכל מקום בו השדה מוגדר.

עבור F=(x,y,z), התפרקות היא 3. לכן, הנפיצה החוצנית דרך הכדור ברדיוס 2 היא 3 כפול נפחו, או 3·(4π·2³/3)=32π. זאת נמנעת מפרמטריזציה של פני השטח. עבור השדה המישורי (−y,x), משפט גרן נותן סירקולציה בכיוון נגד כיוון השעון על מעגל היחידה כאינטגרל של 1−(−1)=2 על העיגול, ולכן 2π. הפכת הכיוון משנה את סימן הסירקולציה.

קרל אפס אינו מספיק כאשר לאזור יש חור. פלוקס החוצה וסירקולציה נגד כיוון השעון משתמשים במשמטים ובכללי כיוונים שונים.

חשב $\iint_D(x^2+y^2)\,dA$ על $1\le x^2+y^2\le4$. מצא את הפלוקס החוצה של $F=(x,y,z)$ על פני כדור היחידה.

פתרון מודגש

לאנגולר יש גבולות קוטביים $1\le r\le2$, $0\le\theta\le2\pi$. כאשר מכילים את הג'קוביאן,

F ריבוע רציף על כל הכדור ולו דיוורגנס של שלושה. משטור הדיוורגנס נותן פלוקס חוצה $3(4\pi/3)=4\pi$. כיוון פנימי היה הופך את הסימן שלו.

תן $G=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ על המישור המנוקב. הקורל הסקלרי שלו הוא אפס שם. חשב את הסירקולציה שלו על עיגול היחידה בכיוון נגד כיוון השעון. הסבר מדוע משפט גרין אינו הופך אותו לאפס.

בדיקה לאחר ניסיון

פרמטרize $r(t)=(\cos t,\sin t)$ עבור $0\le t\le2\pi$. אז $G(r(t))=(-\sin t,\cos t)=r'(t)$, ולכן $G\cdot r'=1$ והאינטגרל הוא $2\pi$. השדה אינו מוגדר במקור בתוך העיגול. משפט גרין דורש את החלקות הנדרשת בערכת שכונה של האזור, ולא רק על הגבול שלו. קורל אפס בערכת מנוקב אינו מבטיח פוטנציאל גלובלי; שדה סגור שאינו מדויק יכול לסרק סביב החור שלו.