GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 17
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
תנאי סף: נגזרות חלקיות, צורות ריבועיות, קומפקטיות ומגבלות.
הסיסאן: המטריצה של הנגזרות החלקיות השנייה המשמשת לחקר העקמומיות המקומית.
מכפיל לורנץ: סקלר הקושר בין גרדיאנט הפונקציה למגבלה רגילה בנקודת קיצון מוגבלת.
עבור פונקציה נגזרת בתחום פתוח, לקיצון מקומי פנימי יש גרדיאנט אפס. תנאי זה הכרחי אך לא מספיק. עבור שני משתנים בנקודה קריטית, נתון D=f_xx f_yy−(f_xy)². אם D>0, f_xx>0 מעיד על מינימום מקומי מחמיר ו-f_xx<0 מעיד על מקסימום מקומי מחמיר; D<0 מעיד על נקודת סדן. מבחנים אלו דורשים רגולריות מתאימה של הנגזרות השניות סביב הנקודה.
כש-D=0, מבחן הנגזרת השנייה הוא חסר משמעות, ולא ראיה לקמת. הפונקציות x⁴+y⁴ ו-x⁴−y⁴ יש להן Hessian אפס באותו מקור, אך אחת יש לה מינימום מחמיר והשנייה משנה סימן. הערך לאורך כיוונים מנוגדים או השתמש באי-שוויון ישיר. עבור צורה ריבועית, חיוביות מוחלטת נותנת פרשנות Hessian כללית יותר.
על אילוץ חלק g(x,y)=c עם גראדינט לא-אפס, פתור gradient f=lambda gradient g יחד עם g=c. משוואות אלו מייצרות מועמדים; הן אינן ממיינות או מבטיחות אקסטרום גלובלי. אם גראדינט האילוץ מתאפס, תנאי הרגולריות נכשל ומשוואות המכפיל יכולות לפספס אקסטרום מוגבל. טפל בנקודות אלו בנפרד. עבור x²+y²=a ו-xy=b>0, (x−y)²=a−2b מראה הכרחיות a≥2b. זו גם תנאי מספיק: נניח s=√(a+2b), d=√(a−2b), x=(s+d)/2 ו-y=(s−d)/2. ערכים אלו ממשיים עם xy=b ו-x²+y²=a. תנאי מינימום לבד דורש בדיקת השגה זו כדי להקים אפשרות פתרון.
פונקציה רציפה על קבוצה אפשרית קומפקטית מגיעה לקיצונים גלובליים. כדי למצוא אותם, יש להשוות את כל המועמדים הפנימיים וכל חלקי הגבול, כולל פינות ונקודות קצה. עבור מלבן, יש למצות את ההגבלות על כל צלע. לעיגול, הגבול העגול עשוי להשתמש בפארמטר או במכפילים. פתרון רק של הגרדיאנט ללא מגבלות מתעלם מאפשרות של ניצחוני גבול.
| English | עברית |
|---|---|
| Hessian | מטריצת היזיאן |
| Lagrange multiplier/ˈlæɡreɪndʒ ˌmʌltɪˈplaɪə/ | מכפיל לורנץ' (לאגראנג' |
מזער את x²+y² תחת התנאי x+y=6. גרדיאנט האילוץ הוא (1,1), ולכן 2x=lambda ו-2y=lambda. מכאן x=y והאילוץ נותן x=y=3, עם ערך 18. השלמת ריבוע על הישר נותנת x²+(6−x)²=2(x−3)²+18, ומוכיחה מינימום גללי. אין מקסימום על ישר בלתי-מוגבל זה, למרות קיום מועמד מכפלים.
פתרון מכפלי לורנז הוא מועמד, ולא בהכרח מקסימום או מינימום. בדוק רגולריות ואת הקבוצה האפשרותית המלאה.
סווג את האפס עבור $f(x,y)=x^2-y^2$ ועבור $g(x,y)=x^4+y^4$. ציין מה ניתן להסיק מכך שהקובעת ההסיסאן היא אפס.
עבור f ההסיסיאן הוא $\operatorname{diag}(2,-2)$ עם קובץ -4; המקור הוא נקודת סדל. לאורך הצירים הערכים בעלי סימנים מנוגדים. עבור g ההסיסיאן באפס הוא אפס, ולכן מבחן הנגזרת השנייה אינו מחליט. עם זאת $x^4+y^4\ge0$, עם שוויון רק במקור; זהו מינימום גללי קפדני. מבחן שאינו מחליט אינו מהווה סיווג של הנקודה.
מצא את כל הקיצונים של $f(x,y)=xy$ בתנאי $x^2+y^2=2$. השווה למינימיזציה של $x^2+y^2$ על הישר $x+y=4$, כולל האם קיימים מקסימום.
העיגול הוא קומפקטי וגרדיאנט המגבלה שלו $(2x,2y)$ לעולם אינו אפס שם. מכפילים נותנים $y=2\lambda x$, $x=2\lambda y$. אף אחד מהקואורדינטות אינו יכול להיות אפס בנקודה עצירה; מכאן $y=\pm x$. ארבעת המועמדים $(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)$ נותנים מקסימום גלובלי 1 ומינימום -1. הגבול $2|xy|\le x^2+y^2=2$ מאמת השלמות. על הישר, $x^2+(4-x)^2=2(x-2)^2+8$, ולכן המינימום הוא 8 ב- $(2,2)$. אין מקסימום כי הביטוי אינו חסום. רעיונות כופל לורנץ לבדם אינם מעידים על קומפקטיות.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…