C.5 · Improper integrals and geometric applications

הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.

תנאי סף: מקדמים, גבולות, השוואה ואינטגרציה גיאומטרית.

• להגדיר אינטגרלים רגילים על ידי גבולות בכל גבול singular
• לבחור נוסחאות שטח, נפח ואורך קשת מהגיאומטריה
• להפריד בין התכנסות של אינטגרלים לבין ביטול סימני

אינטגרל רגיל: אינטגרל המוגדר על ידי גבולות בגבולות אינסופיים או singularים.

ערך ראשי: גבול המשמש ביטול סימני סימטרי מוצהר שעשוי להתקיים כאשר אינטגרל רגיל מתבדר.

נקודת גבול אינסופית בהשלמה מחליפה גבול סופי וגבול. בנקודה singular בתוך התחום, יש לפצל את האינטגרל ולדורש שהשני אינטגרלים חד-צדיים יתכנסו בנפרד. ביטול סימני סימטרי יכול להגדיר ערך ראשי של קושי אך אינו מוכיח התכנסות של אינטגרל רגיל. עבור 1/x מעבר לאפס, שני הצדדים מתבדרים אף על פי שקיצוצים סימטריים מבטלים זה את זה.

האינטגרל של x^(−p) מ-1 לאינסוף מתכנס בדיוק כשה-p>1. מ-0 עד 1 הוא מתכנס בדיוק כשה-p<1. אותה מעריך מתנהג בצורה שונה בשני הקצוות. עבור פונקציות אינטגרנד חיוביות, השוואה מעבירה התכנסות מפונקציה גדולה יותר שתחום אינטגרציה או התפשטות מפונקציה קטנה יותר שאינה ניתנת לאינטגרציה; שמור על כיוון האי-שוויון. עבור אינטגרל של מקסימום מינימום, פתור חציית ענפים ובדוק איזה ביטוי שולט בכל קטע. עבור max(√(1−x²),x+1) על [−1,1], חציית הפנים היא אפס; השתמש בחצי עיגול על [−1,0] והקו על [0,1]. השטח הוא π/4+3/2, ולא האינטגרל של כל ענף על כל הקטע.

סיבוב סביב ציר ה-x, דיסקים או טבעות ממחישות ∫π(R²²−r²²) dx. מעטפות צילינדריות משתמשות ב-2π כפול רדיוס כפול גובה ומבצענות אינטגרציה במשתנה המתאים. יש לבחור את השיטה לפי הגיאומטריה ולוודא רדיוסים לא שליליים. שטח בין עקומות ממחישות עליון פחות תחתון, וחלוקה כאשר הסדר שלהן משתנה. אינטגרל סימני אינו אוטומטית שטח גיאומטרי.

עבור עקומה מישורית נגזרת y=f(x), אורך הקשת הוא האינטגרל של sqrt(1+(f′(x))²) dx. משטח שנוצר על ידי סיבוב f לא שלילית סביב ציר ה-x יש לו שטח אינטגרל 2πf sqrt(1+(f′)²) dx. אלו כמויות שונות מנפח. אם התחום אינו סופי, הנוסחה הגיאומטרית עדיין דורשת בדיקת התכנסות.

סובבו את y=1/x עבור x≥1 סביב ציר ה-x. נפח הדיסק הוא π כפול האינטגרל של 1/x², כך ש-V=π. אינטגרנד המשטח הצדדי הוא 2π(1/x)√(1+1/x⁴), לפחות 2π/x; האינטגרל הלא רגיל שלו מתפזר. נפח סופי אינו מעיד על שטח משטח סופי. השוואה זו נמנעת מניסיון למצוא פונקציה אנטי-פרמיטיבית מיותרת.

לעולם אל תחשב ערך ראשי כאינטגרל פסול ממוצע, או להסיק סופיות של כמות גיאומטרית אחת מתוך אחרת.

עבור איזה p אמיתי $\int_0^\infty x^{-p}\,dx$ מתכנס? השוו את האינטגרל הרגיל של $1/x$ ב-$[-1,1]$ עם הערך הראשי הסימטרי שלו.

פתרון מודגש

יש לפצל ב-1. סמוך לאפס, ההתכנסות דורשת $p<1$; סמוך לאינסוף, היא דורשת $p>1$. אין p אמיתי המקיים את שניהם, ו-p=1 מתבדר לוגריתמית בשני הקצוות. שני החלקים החד-צדיים חייבים להתכנס באופן עצמאי. עבור $1/x$ מעבר לאפס, החלקים השלילי והחיובי מתבדרים בנפרד, ולכן האינטגרל הרגיל מתבדר. קיצוצים סימטריים מבטלים זה את זה לאפס, ונותנים רק ערך ראשי. האפס אינו הערך של האינטגרל הרגיל.

סובבו את האזור תחת $y=1/x$, $x\ge1$, סביב ציר ה-x. הוכיחו כי הנפח הוא סופי ושטח הצד הוא אינסופי.

בדיקה לאחר ניסיון

דיסקים נותנים $V=\pi\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\pi\lim(1-1/b)=\pi$. עבור שטח משטח, $y'=-1/x^2$ ו

האינטגרנד הלא שלילי שלו הוא לפחות $2\pi/x$, whose integral diverges. השוואה מוכיחה שטח צד אינסופי. זה אינו כולל כיסוי קצה ואינו טוען שהנפח הסופי מציע שטח סופי.