GRE · GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 15
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
תנאי הכרחיים: נגזרות, סדרות גיאומטריות ומבחני התכנסות.
רדיוס התכנסות: המרחק ממרכז הסדרה בתוך מרחב זה סדרת כוח מתכנסת באופן מוחלט.
שארית: ההפרש בין פונקציה לבין הקירוב הסופי שלה.
| English | עברית |
|---|---|
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | רדיוס התכנסות |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | שארית |
פולינום טיילור בדרגת m בנקודה a הוא סכום f^(k)(a)(x−a)^k/k! עבור k מאפס עד m. הגורם הפריטורי (פאקטוריאלי) משתייך לכל מקדם. אם הנגזרת הבאה מוגבלת בגודלה על ידי M בין a ל-x, השארית של Lagrange בעלת גודל של עד M|x−a|^(m+1)/(m+1)!. חלקיות בלבד אינה מבטיחה שהסדרה האינסופית של טיילור תשווה לפונקציה בכל מקום.
סדרת כוח sum c_n(x−a)^n מתכנסת באופן מוחלט בתוך הרדיוס R שלה ומתפזרת מחוץ לה. בדיקת היחס או בדיקת השורש קובעות בדרך כלל את R, עם ערכים אפשריים של אפס ואינסוף. ב-x=a−R וב-x=a+R הבדיקה לרוב אינה נותנת תשובה; יש להציב כל קצה בסדרה המקורית. התנהגות הקצוות השונים עשויה להיות שונה.
בתוך קטע ההתכנסות הפתוח, גזירה ואינטגרציה איבר-איבר שומרות על הרדיוס. הן יכולות לשנות האם הקצوات כלולים. התחילו מסדרה גיאומטרית 1/(1−x)=sum x^n עבור |x|<1, ואז אינטגרציה מאפס ועד x כדי לקבל −ln(1−x)=sum x^n/n עבור n≥1. בדקו את קבוע האינטגרציה ואת תחום ההגדרה של הלוגריתם הממשי.
סדרות גם פותרות צורות גבול נשלפות. כדי לחשב (e^x−1−x)/x² בקרבת אפס, שמרו את האיבר הראשון שנשמר x²/2 ולא רק e^x≈1+x. חיתוך אסימפטוטי מקבע את הגבול; אי-שוויון בתחום סופי זקוק לטיעון נפרד על סימן השארית או על גודלה. אל תציבו בסדרה מחוץ לקטע ההתכנסות שלה.
עבור ∑ x^n/n עם n≥1, בדיקת היחס נותנת רדיוס 1. ב-x=1 זו סדרה הרמונית מתפזרת; ב-x=−1 זו סדרה סינונית מתכנסת. לכן, תחום ההתכנסות הממשי הוא [−1,1). גזירה בתוך התחום נותנת ∑ x^(n−1)=1/(1−x), שאינה מתכנסת בשום קצה. הרדיוס נשאר 1 בעוד שהכללת הקצוות השתנתה.
רדיוס אינו תחום התכנסות מלא. בדיקות קצוות וקואפיציינטים פינורמיאליים חייבים לבדוק במפורש.
מצאו את קטע ההתכנסות של $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ וגם של הנגזרת האיבר-איבר שלו. קרבו $e^{0.1}$ בפולינום טיילור ריבועי עם גביל שגיאה מוצדק.
בדיקת היחס נותנת רדיוס אחד. ב-1 הסדרה ההרמונית המקורית מתפזרת; ב-−1 הסדרה המתחלפת מתכנסת. לכן הקטע המקורי הוא $[-1,1)$. הנגזרת היא $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=1/(1-x)$ רק עבור $|x|<1$; האיברים שלה אינם שואפים לאפס בשום אחד מהקצוות. $P_2(0.1)=1+0.1+0.1^2/2=1.105$. על $[0,0.1]$, הנגזרת השלישית היא $e^x<2$. הגבול של Lagrange נותן $|R_2|\le2(0.1)^3/6=1/3000$. הגבול מכוון במתנדלות, ולא טענה לשגיאה מדויקת.
הערכו $\lim_{x\to0}(\cos x-1+x^2/2)/x^4$. הסבירו מדוע החלפת קוסינוס ב-$1-x^2/2$ בלבד אינה יכולה לקבוע גבול זה.
משפט טיילור סמוך לאפס נותן $\cos x=1-x^2/2+x^4/24+O(x^6)$. חיסור מבטל את האיברים הקבוע והריבועי, ומשאיר $x^4/24+O(x^6)$. לאחר החלוקה הגבול הוא $1/24$. קיצוץ עם שארית פשוט $o(x^2)$ אינו מספק שליטה לאחר חלוקה ב-$x^4$; יש לשמור ולגבול את הסדר הראשון שנותר.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…