GRE · GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 14
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
דרישות מוקדמות: קבוצות, קבוצות פתוחות ביחס, פונקציות רציפות וסדרות.
טופולוגיה יחסית: תת-קבוצות פתוחות הנורשות על ידי חיתוך תת-מרחב עם קבוצות פתוחות בקיבוצית.
קישוריות: העדר הפרדה לשתי תת-קבוצות פתוחות ביחס, זרות ובלתי ריקות.
| English | עברית |
|---|---|
| relative topology/ˈrelətɪv təˈpɒlədʒi/ | טופולוגיה יחסית |
| connectedness/kəˈnektɪdnəs/ | קישוריות |
במרחב מטרי, קבוצה פתוחה מכילה כדור קטן סביב כל נקודה ממנה. הפנים מורכבות מנקודות אלו; הסגירה כוללת את כל נקודות הגבול; הגבול הוא סגירה מינוס הפנים. פתוח וסגור הם תווים שאינם הדדיים; הקבוצה הריקה והמרחב כולו הם גם פתוחים וגם סגורים. ב-R, הקבוצה [0,1) יש פנים (0,1), סגירה [0,1] וגבול {0,1}.
בתת-מרחב X, קבוצה פתוחה היא בצורת X חתוך בקבוצה פתוחה בקיבוצית. לכן [0,1) פתוח ביחס ל-[0,2], באמצעות חיתוך עם (-1,1), למרות שהוא אינו פתוח ב-R. קבוצה עשויה להיות גם סגורה ביחס ללא להיות סגורה במרחב הקיבוצי. תמיד ציין איזה מרחב מגדיר שכונות ואיזה מטריקה משמשת.
צמידות פירושה שכל כיסוי פתוח מכיל תת-כיסוי סופי. ב-R^n אוקלידי, Heine–Borel הופך זאת לשווה לסגורות וחסומות. במרחב מטרי, צמידות שווה לצמידות סדרתית; שלמות וחסימות לבדם אינם מספיקים במרחבי מטרי כלליים. תמונת רציפה של קבוצה צמודה היא צמודה, מה שמבטיח מקסימומים ומינימום מושגים עבור פונקציות רציפות ממוצעות על תחום צמוד לא ריק.
קבוצות קשורות אינן ניתנות להפרדה לשתי חלקים פתוחים ביחס, זרים ובלתי ריקים; תת-קבוצות קשורות ב-R הן בדיוק המרווחים. תמונת רציפה של קבוצה קשורה היא קשורה, מה שמוביל למשפט הערך הביניים. קישוריות מסלול מחייבת קישוריות, אך לא להפך בכל מרחב. קבוצה צמודה אינה חובה להיות קשורה, וקבוצה קשורה אינה חובה להיות צמודה; קבוצה סופית של שתי נקודות ומרווח פתוח מספקים את המקרים המנוגדים.
הנח X=[0,1] עם הטופולוגיה היחסית הרגילה שלה. הקבוע U=[0,0.5) שווה ל-X החתוך עם (-1,0.5), ולכן U הוא פתוח ב-X. הסגירה שלו ב-X היא [0,0.5], והגבול שלו ב-X הוא {0.5}; אפס הוא נקודת פנימה ביחס ל-X. עבור f רציפה על X עם f(0)<0<f(1), קשריות מבטיחה קיום אפס, בעוד שהצטמצמות מבטיחה בנפרד קיים מקסימום ומינימום מושגים.
מבחן סגורות ומגובלות של Heine–Borel הוא משפט במרחב אוקלידי. קשריות והצטמצמות עונדות על שאלות שונות.
ב-$X=[0,2]$ עם הטופולוגיה היחסית שלה, מצאו את הפנימי, הסגירה והגבול של $A=[0,1)$. האם A פתוח או סגור ב-X?
$A=X\cap(-1,1)$ פתוח ב-X, ולכן הפנימי היחסי שלו הוא A. הסגירה שלו היא $[0,1]$ והגבול שלו הוא $\{1\}$. אפס הוא פנימי ביחס ל-X כי כדור קטן מספיק ב-X אינו מכיל חלקים שליליים. A אינו סגור ב-X: הסדרה $1-1/n$ עבור $n\ge2$ שואפת לנקודה החסרה 1. בקו הממשי העליון, הפנימי והגבול היו במקום זאת $(0,1)$ ו-$\{0,1\}$.
תנו קבוצה ממשית קומפקטית ולא-קשורה וקבוצה ממשית קשורה ולא-קומפקטית. האם פונקציה ממשית רציפה על הקבוצה השנייה חייבת להשיג ערך קיצוני? הסבירו איזה תכונה מעניקה את משפט הערכים הביניים.
הקבוצה הסופית $\{0,2\}$ היא קומפקטית אך לא-קשורה. הקטע $(0,1)$ הוא קשור אך לא קומפקטי. הפונקציית הזהות הרציפה על $(0,1)$ אינה מגיעה neither למקסימום nor למינימום. הקישוריות הופכת את התמונה הממשית הרציפה לקטע ולכן מספקת ערכים ביניים. קומפקטיות לעומת זאת גורמת לתמונה ממשית רציפה ולא-ריקה להשיג את ערכיה הקיצוניים. אף תכונה אחת אינה מחליפה את השנייה.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…