GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 13
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
תנאים קודמים: גבולות סדרות, סופרמום, רציפות וסדרות מספריות.
סדרה קושי: סדרה שבה האיברים המאוחרים מספיק קרובים זה לזה.
התכנסות אחידה: התכנסות עם סף שגיאה אחד תקף בכל נקודה בתחום.
| English | עברית |
|---|---|
| Cauchy sequence | סדרת קושי |
| uniform convergence/ˈjuːnɪfɔːm kənˈvɜːdʒəns/ | התכנסות אחידה |
סדרה ממוצעת מתכנסת היא קושי, וכל סדרת קושי ממוצעת מתכנסת מכיוון שהממשיים שלמים. ב-Q סדרת קושי עשויה להתקרב למספר אי-רציונלי ולכן לא להתכנס בתוך Q. סדרה ממוצעת מונוטונית וחסומה מתכנסת. סדרה חסומה אינה חובה להתכנס, אך משפט בולצנו–וירשטרס מבטיח תת-סדרה מתכנסת; ל(-1)^n ישנם שני גבולות תת-סדרתיים שונים.
בוראריית מספרים, התכנסות מוחלטת מחייבת התכנסות; התכנסות תלויה לא מאפשרת מערך חופשי של האיברים ללא השפעה על הסכום. הבוראריית ההרמונית החלופית מתכנסת אך הבוראריה בערכי המוחלט שלה מתפוצצת. במבחן היחס, גבול מתחת ל1 מוכיח התכנסות מוחלטת ועל 1 מוכיח התפוצצות; גבול שווה ל1 הוא לא מכריע, כפי שמדגישות הבוראריאות 1/n ו-1/n².
התכנסות נקודתית בוחרת מדד N בנפרד עבור כל x וסף. התכנסות אחידה בוחרת מדד N אחד שעובד לכל x בתחום. עבור פונקציות בעלות ערך ממשי, בדוק את המקסימום של |f_n−f| על כל התחום. גבול נקודתי רציף אינו מוכיח לבדו התכנסות אחידה. קצוות התחום ושיאים הצטמצמים מבדילים לעיתים בין שני המושגים.
גבול אחיד של פונקציות רציפות הוא רציף. על מרווח סגור וחסום, התכנסות אחידה של פונקציות Riemann-אינטגרבליות מאפשרת להחליף גבול ואינטגרל. החלפת נגזרות דורשת הנחות נוספות; התכנסות אחידה של הפונקציות לבדה אינה מספקת. מבחן M של וירשטרס מקיים התכנסות אחידה מוחלטת של בוראריית פונקציות אם כל איבר חסום על ידי M_n על כל התחום והסכום ΣM_n מתכנס.
על [0,1], f_n(x)=x^n שואף ל-0 עבור x<1 ול-1 ב-x=1. הגבול אינו רציף, ולכן ההתכנסות אינה אחידה; ישירות, הטעות המקסימלית היא 1, המתקרבת מתחת ל-1. על [0,a] כאשר 0≤a<1, הגבול הוא אפס והמקסימום הוא a^n, השואף לאפס, ולכן ההתכנסות אחידה. שינוי התחום משנה את המסקנה.
בדיקה של מספר ערכי x קבועים אינה מוכיחה גבול מקסימלי nor התכנסות אחידה. הנקודה המייצרת את הטעות הגדולה ביותר עשויה להזיז עם n.
קבע את ההתכנסות הנקודתית והאחידה של $f_n(x)=x^n$ על $[0,1]$ ועל $[0,a]$ עבור $0<a<1$ קבוע. השווה את $\sum1/n^2$ לסדרה האלטרנטטיבית ההרמונית מבחינת התכנסות מוחלטת.
על $[0,1]$, הגבול הוא אפס עבור $x<1$ ואחד ב-1. גבול זה אינו רציף, ולכן סדרה רציפה $f_n$ לא יכולה להתכנס באופן אחיד. ישירות יותר, השגיאה העליונה על $[0,1)$ היא אחד. על $[0,a]$ המקסימום הוא $a^n\to0$, ולכן ההתכנסות היא אחידה לאפס. הסדרה p-סדרה עם p=2 מתכנסת מוחלט. הסדרה האלטרנטטיבית ההרמונית מתכנסת עקב ירידה של האיברים לאפס, אך הסדרה המוחלטת מתפשטת; ההתכנסות שלה היא תנאיית.
תן $g_n(x)=\sin(nx)/n$ על $\mathbb R$. האם ההתכנסות אחידה? האם הנגזרות שלה יכולות להתכנס לנגזרת של הגבול? השתמש בנקודה מפורשת כדי לקבוע.
$\sup_{x\in\mathbb R}|g_n(x)|=1/n\to0$, ולכן הפונקציות מתכנסות אחידה לאפס. אך $g_n'(x)=\cos(nx)$, ובנקודה $x=0$ הנגזרות הללו הן כולן 1. הנגזרת של הגבול האפסי היא 0. לכן, התכנסות אחידה של הפונקציות לבדה אינה מצדיקה נגזירת גבול; נדרשות הנחות נוספות לגבי התכנסות הנגזרות.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…