A.5 · Polynomials and field extensions

הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.

תנאי קדמה: חילוק פולינומים, שדות וממד מרחב וקטורי.

• לבדוק אי-ניתוק פולינום מעל השדה המצויין
• לבנות שדות סופיים קטנים מפולינומים אי-ניתוקים
• להשתמש במעריכי הרחבה ובחוק המגדל
• להשתמש בשורשים ציקלוטומיים ובקשרי המקדמים לחישוב סכומים וכפלות

פולינום אי-ניתוק: פולינום בעל דרגה חיובית שאינו מתפרק למכפלה של פולינומים בדרגות חיוביות קטנות יותר מעל השדה המצויין.

מעריך הרחבה: הממד של שדה הרחבה כמרחב וקטורי מעל השדה הבסיס.

פולינום הוא אי-ניתוק מעל שדה אם יש לו דרגה חיובית ואינו מתפרק לפולינומים בדרגות חיוביות קטנות יותר שם. פולינום ריבועי או קובי הוא אי-ניתוק אם ורק אם אין לו שורש בשדה זה. מבחן השורשים הזה לבדו נכשל לדרגה ארבע או גבוהה יותר; לדוגמה, (x²+1)(x²+2) אין לו שורש ממשי אך הוא ניתוק מעל R. תמיד נקוב את השדה הבסיס.

המנה F[x]/(p) היא שדה כאשר p אי-ניתוק. הפחת כוחות באמצעות p(alpha)=0, כאשר alpha היא מחלקת המישור של x. אם F מכיל q אלמנטים ו-p בדרגה d, למנה יש q^d אלמנטים המיוצגים על ידי פולינומים בדרגה מתחת ל-d. Z/4Z מכיל ארבעה אלמנטים אך יש לו מחלקי אפס, ולכן אינו השדה עם ארבעה אלמנטים.

מעל F2, הפולינום p(x)=x²+x+1 מקבל ערך 1 גם ב-0 וגם ב-1 והוא אי-ניתוק. במנה שלו, alpha²=alpha+1 כי החיסור שווה לסכום באופי שתי. הארבעה אלמנטים הם 0,1, alpha, alpha+1. כל שלושת האלמנטים הלא-אפס חייבים להיות יחידות; חשב את הכפלות שלהם ולא טפל ב-alpha כמספר ממשי רגיל.

עבור שדות משובצים של דרגה סופית K בתוך L בתוך M, חוק המגדל נותן [M:K]=[M:L][L:K]. הדרגה של אלמנט אלגברי היא דרגת הפולינום המינימלי שלו. הרחבה סופית של דרגה שתי אינה מכילה אלמנט של דרגה שלוש בשדה הבסיס. מעל Q, sqrt(2) יש דרגה שתי; חיבור sqrt(3) גם כן מייצר הרחבה של דרגה ארבע, מכיוון ש-sqrt(3) אינו ב-Q(sqrt(2)). מעל C, שורשי יחידות primitive נth יש בדיוק סדר n והם שורשי הפולינום הציקlotomic Φ_n. עבור n=10, חלק x⁵+1 ב-x+1 כדי לשלול את השורש סדר-שתי −1: Φ_10=x⁴−x³+x²−x+1. נוסחאות ויהטה נותנות סכום 1 ו product 1 של ארבעת השורשים ה-primitive. אל תסכם את כל עשרת השורשים, או תניח שכל שורש עשרת לא-טריוויאלי הוא primitive; סדר של שורש חייב לבדוק. עבור פולינום דרגה d מוניק, מכפלת השורשים היא (−1)^d כפול המקדם הקבוע.

ב-F2[alpha] עם alpha²+alpha+1=0, כפול alpha(alpha+1) = alpha² + alpha = (alpha+1) + alpha = 1. כך ש-alpha^−1=alpha+1. גם alpha³=1 וalpha אינו ⟨1⟩, ולכן סדר הכפלה שלו הוא 3. זה מייצר שדה של ארבעה אלמנטים. לעומת זאת, ⟨2⟩·2=0 ב-Z/4Z, ומוכיח שהמקוסיט אינו שדה.

*כל אלמנט לא-אפס ב-F₂[α] יש לו הפיך, ולכן זהו שדה עם ארבעה אלמנטים

צמצמות פולינום משתנה בהתאם לשדה המקדמים. הפולינום x²−2 הוא בלתי-צמצם מעל Q אך מתפרק מעל R.

בנה $\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1)$. רשום את אלמנטיו ומצא את ההופך של מחלקת המישור $\alpha=[x]$.

פתרון מודגש

הפולינום הריבועי לוקח ערך אחד בשני אלמנטים של $\mathbb F_2$, ולכן אין לו שורש והוא אי-ניתוק. המנה שלו היא שדה. החילוק משאיר נציג בדרגה מתחת לשתי: $0,1,\alpha,1+\alpha$. הקשר הוא $\alpha^2=\alpha+1$ באופי שתי. כתוצאה מכך $\alpha(\alpha+1)=\alpha^2+\alpha=1$, ולכן $\alpha^{-1}=\alpha+1$. זה אינו $\mathbb Z/4\mathbb Z$, שמכיל מחלק אפס שאינו אפס.

האם $x^4+4$ אי-ניתוק מעל $\mathbb Q$? האם העדר שורשים רציונלי עונה על שאלה זו? האם הרחבה בדרגה שתי של $\mathbb Q$ יכולה להכיל שורש של פולינום קובי אי-ניתוק מעל $\mathbb Q$?

בדיקה לאחר ניסיון

כפולה ישירה נותנת $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$, ולכן הוא ניתוק מעל $\mathbb Q$ למרות שאין לו שורשים ממשיים, ולכן אין לו שורשים רציונליים. מבחן העדר השורשים מאפיין אי-ניתוק רק עבור דרגה שתי או שלוש מעל שדה. אם שורש קובי אי-ניתוק $\beta$ היה שייך להרחבה בדרגה שתי L, אזי $\mathbb Q\subset\mathbb Q(\beta)\subset L$ וחוק המגדל יגרומו לכך ש-3 יחלק את 2. זה בלתי אפשרי. המסקנה מסתמכת על אי-ניתוק, ולא רק על משוואה קובית.