GRE Subject Test · GRE Mathematics · נושא 10
הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.
תנאי קדם: טבעות, שדות, תת-קבוצות אדיטיביות והומופיזמים.
אידיאל: תת-קבוצה אדיטיבית בטבעה הבלועה כפל עם כל אלמנטיה.
טורזיון: אלמנט הופך לאפס על ידי סקאלר אי-אפס במודול הנתון.
| English | עברית |
|---|---|
| ideal/aɪˈdɪəl/ | אידיאל |
| torsion/ˈtɔːʃn/ | טורזיה |
לדוגמאות הטוח, האידיאל והמנה הבאות, השתמש בטבעה אבליאנית עם יחידה 1 שונה מ-0. בעיית מקור עשויה לדרוש טבעה כללית; אל תניח כי הכפל אבליאני אלא אם כן צוין או הוכח. ליחידה יש challenged מכפלי. מחלק אפס אי-אפס מכפיל אלמנט אי-אפס לשמו. תחום אינטגרלי אינו מכיל מחלקי אפס כאלה; ביטול גורם אי-אפס פועל כאז. שדה הוא תחום בו כל אלמנט אי-אפס הוא יחידה. Z הוא תחום אך לא שדה; Z/6Z אינו אף אחד מהם.
אידיאל I הוא תת-קבוצה אדיטיבית הבלועה כפל עם כל אלמנט טבעה. זה חזק מלהיות תת-טבעה. ב-Z, nZ הוא אידיאל; אלמנטים במנה הם מחלקות שאריות שלמים מודולו n. בטבעה אבליאנית, R/I הוא שדה בדיוק כאשר I מקסימלי, והוא תחום בדיוק כאשר I ראשוני. האידיאל חייב להיות ממשי בשני ההצהרות.
מודול מאפשר סקאלרים ממעגל במקום לדרישה לשדה. כל קבוצה אבליאנית היא מודול Z על ידי חיבור חוזר, אך היא אינה חייבת להיות בעלת בסיס מרחב וקטורי. ב-Z/6Z כמודול Z, ⟨6⟩ כפול השארית הלא-אפסית ⟨1⟩ הוא אפס; זהו טורסיון. עבור מרחב וקטורי מעל שדה, סקאלר לא-אפסי הוא הפוך ואינו יכול לבטל וקטור לא-אפסי.
תת-מודול סגור תחת חיבור וכל פעולות הסקאלר המותרות. מפה ליניארית של מודולים שומרת על שניהם. הגרעין והתמונה הם תת-מודולים, והמקוסיט בגרעין איזומורפי לתמונה. אל תשתמש בחוק דרגת-גרעין לממדים סופיים על מודול ארבי מבלי להקיף מסגרת מודול חופשי מתאימה; פעולות שורה של שלמים ופעולות שורה של שדות מאפשרות חלוקות שונות. במעגל בוליאני כללי, כל a מקיים a²=a. אל תניח קומטטיביות כדי להוכיח זאת: איידמפוטנס של a+a נותן 4a=2a, ולכן 2a=0. פיתוח (a+b)²=a+b נותן ab+ba=0, ומאפיין שתי גורר −ba=ba; ולכן ab=ba. איידמפוטנס אינו מציע ניילופוטנס: ב-F2, האלמנט הלא-אפסי ⟨1⟩ מקיים 1^n=1 לכל n חיובי.
ב-Z/6Z, 2·3=0, ולכן 2 ו3 הם מחלקי אפס. היחידות הן 1 ו5 כי ה-GCD שלהם עם 6 הוא 1. ב-Z, האידיאל 5Z נותן את השדה Z/5Z, בעוד ש6Z נותן מכפלה קוואוטिएנט עם מחלקי אפס. כמודולי Z, ההעתקה מ-Z ל-Z/6Z יש ליבה 6Z; המכפלה קוואוטिएנט מזדהה שלמים הנבדלים בכפולה של 6, ולא מייצר מרחב וקטורי אמיתי.
קבוצה יכולה להיות תת-מודול מבלי להיות מרחב וקטורי על הרציונליים. חילוק סקאלר תקף רק כאשר ההפוך של הסקאלר שייך למבנה.
ב$\mathbb Z/12\mathbb Z$, רשימת היחידות ומחלקות האפס הלא-אפסיות. האם האידיאל ⟨$(4)$⟩ ראשוני או מקסימלי?
היחידות הן השאריות הזרות ל12: ⟨$1,5,7,11$⟩. השאריות הלא-אפסיות הנותרות ⟨$2,3,4,6,8,9,10$⟩ הן מחלקות אפס. עבור כל such a, ⟨$a\cdot(12/\gcd(a,12))=0$⟩ מוד ↯12, עם הגורם השני לא-אפסי. האידיאל ⟨$(4)=\{0,4,8\}$⟩ נותן מקוסיט איזומורפי ל$\mathbb Z/4\mathbb Z$. זוהי לא תחום, מכיוון ⟨$2\cdot2=0$⟩, ואינה שדה. ולכן האידיאל אינו ראשוני ולא מקסימלי.
כמודול ⟨$\mathbb Z$⟩, האם ⟨$\mathbb Z/6\mathbb Z$⟩ יכול להיות חופשי? השוו את האידיאלים ⟨$(2)$⟩ ו$(x)$ ב$\mathbb Z$ ו$\mathbb Q[x]$, בהתאמה, באמצעות המקוסיטים שלהם.
מודול חופשי $\mathbb Z$ שאינו אפס אינו מכיל וקטור שאינו אפס המבוטל על ידי שלם שאינו אפס: בדוק כל קואורדינטת שלם. אך $6[1]=0$ ב-$\mathbb Z/6\mathbb Z$. הוא אינו חופשי; הוכחה בסגנון בסיס שדה אינה תקפה. $\mathbb Z/(2)\cong\mathbb F_2$ הוא שדה, ולכן $(2)$ מקסימלי וראשוני. הערכה באפס ממופה את $\mathbb Q[x]$ אל $\mathbb Q$ עם ליבה $(x)$; המנה שלה היא גם כן שדה. שתי ההוכחות משתמשות באידיאלים נכונים בטבעות קומוטטיביות עם יחידה.
לעבור על הדברים צעד אחר צעד, עם תרגילים לבדיקה מיידית.
טוען נושאים…