C.1 · Single-variable calculus and applications

הכנה למבחן GRE לתואר ראשון. מטרות מקומיות בתוך היקף ETS הנבדק; זהו הוראה מקורית, ולא מבחן רשמי או חיזוי ציון.

תנאי קבלה: אלגברה מדויקת, טריגונומטריה ברדיאנים, פונקציות וחוסר שוויון.

• שימוש בגבולות, רציפות וניתוק
• יישום נגזרות, אינטגרלים והמשפט היסודי
• זיהוי סכומי ריימן והבחנה ביניהם לבין סדרות אינסופיות

רציפות: התאמת ערך הפונקציה לגבול שלה.

התכנסות: קירוב לערך גבולי סופי.

גבול מתאר ערכים קרובים לנקודה, ללא הצורך בפונקציה מוגדרת שם. רציפות מוסיפה את הדרישה שערך הפונקציה קיים ומתאים לגבול. ביטול אלגברי תקף רק מחוץ לאפס המבוטל, אך יכול לחשוף גבול ניתן לביטול. גבולות חד-צדדיים חייבים להתאים כדי שיהיה גבול דו-צדדי. עבור גבולות של מנה, בדוק את המכנה וההנחות לפני שימוש בכלל; 0/0 הוא צורה לא מוגדרת, לא תשובה.

נגזרת היא גבול של מנה פרשים ועולה על רציפות; ההפך אינו נכון, כפי ש-m |x| ב-0 מראה. כללי מכפלה, מנה ושרשרת מתארים מבנים שונים: הנגזרת של f(g(x)) היא f′(g(x))g′(x), לא מכפלה של ערכים בלתי קשורים. נגזירה של הרכבה בפעם השנייה מייצרת בדרך כלל שני איברים. בדוק תחומי הגדרה, מכנים שאינם אפס והנחות ניתוק לפני שימוש בביטוי סימבולי כנגזרת.

המשפט היסודי אומר שהנגזרת של ∫ מ-a עד x של פונקציית אינטגרציה רציפה f(t) היא f(x). עם גבול עליון משתנה h(x), כפל ב-h′(x); עם שני גבולות משתנים, חסר את תרומת הגבול התחתון המתאימה. אינטגרל מוגדר מופיע גם כגבול של סכומי ריימן.改写 סכום זה ל-(1/n)Σf(k/n) לפני זיהוי האינטגרל ב-[0,1], ולא בטיפול במונחים תלויי n כקבועים.

למשל Σ מ-k=1 עד n של n/(n²+k²) שווה ל-(1/n)Σ1/(1+(k/n)²), המתקרב ל-∫₀¹1/(1+t²)dt=π/4. גבול זה משתמש ברציפות וברוחב החלוקה 1/n. סדרה על מספר אינסופי של איברים היא גבול שונה: איברים המתקרבים לאפס אינם מבטיחים לבדם התכנסות. עבור Σ1/k הסכומים החלקיים מתפשטים; השווה, הערך או השתמש במבחן סדרה תקף במקום להשתמש בתנאי האיבר הנדרש כמספיק.

עבור F(x)=אינטגרל מ-0 עד x² של e^t dt, המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי וכל השרשרת נותנים F′(x)=e^(x²)·2x. ב-x=1, מתקבל F′(1)=2e. הגבול העליון הוא x², ולכן אי-הכללת 2x מאבדת את קצב השינוי שלו.

חשבון אינפיניטסימלי ברמת A-Level הוא חומר רקע שימושי אך אינו מכסה את האנליזה והיישומים ברמת תואר ראשון הנבדקים כאן.

תן $F(x)=\int_x^{x^2}(1+t^2)\,dt$. מצא $F'(x)$ ו-$F'(2)$. ציין מדוע המשפט חל.

פתרון מודגש

הפונקציה המובאת לאינטגרל רציפה על כל קו הממשי. משפט היסוד והכללה חלים בשני הגבולות:

בנפרד, פונקציה נגזרת היא $t+t^3/3$. לכן $F=x^2+x^6/3-x-x^3/3$, בעלת אותה נגזרת.

מצאו $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n k/(n^2+k^2)$. הסבירו מדוע זהו גבול סכום רימן. לאחר מכן החליטו האם $\sum_{k=1}^{\infty}1/k$ מתכנס.

בדיקה לאחר ניסיון

改写 כל איבר כ$\frac1n\frac{k/n}{1+(k/n)^2}$. הפונקציה הרציפה $f(t)=t/(1+t^2)$ על $[0,1]$ והרשת $1/n$ נותנות

סדר ההרמוני מתפרק: הבלוק מ$2^{j-1}+1$ עד $2^j$ מכיל לפחות $2^{j-1}$ איברים הגדולים או שווים ל$1/2^j$, ולכן כל בלוק מוסיף לפחות $1/2$. תנועה של איברים לאפס היא תנאי נדרש אך אינה מספקת. פונקציית האינטגרל בסכום הסופי כאן תלויה במדד המדוד; זוהי אינה סדר ההרמוני.