6 · Statistics and probability

4MA1 נושא 6 (נרמול Issue 2, נובמבר 2017). היסוד 6.1–6.3 מכסה הצגת נתונים, ממוצעים עם הערכות קבוצתיות, ואת כל ערכת הכלים להסתברות (קנה מידה, מרחבי דגימה, דיאגרמות ון, משלמים); רמה גבוהה מוסיפה היסטוגרמות עם מחלקות בלתי-שוות שינויים, עבודת תדירות מצטברת עם חציון וטווח רבעוני, ועץ תרשימים לאירועים בלתי תלויים ותנאי. במבחני יוני 2024, נושא זה כלל היסטוגרם עם מחלקות לא שוות (1HR Q16), גרף תדירות מצטברת עם קריאת רביעיות (2HR Q11) ושאלה אלגברית כבדה על משאבים ללא החזרה (1HR Q21).

חובה לדעת לנושא 6:

טבלו לפני שציירת: ספרו לתוך טבלת תדירות, שמרו על גבולות מחלקות גלויים, כעת בחרו בתרשים — עמודי (קטגוריות בדידות), עיגול (יחסים), פיקטוגרם, או פוליגון תדירות לנתונים מקובצים. פרשנות מתבצעת בשני הכיוונים: קראו ערכים מתוך תרשים נתון והשוו בין חלוקות (שני קבוצות על אותו צירים; ציר מקוצץ המטיע הוא גם הערה הוגנת).

במבחן ההעלאה צוירים היסטוגרמים עם רוחבי מחלקות לא שווים: גובה העמודה הוא צפיפות תדירות $= \dfrac{\text{frequency}}{\text{רוחב המחלקה}}$, ולכן שטח המייצג את התדירות. מחלקות בעלות רוחב אחיד הן המקרה המיוחד שבו גובה בלבד מספיק.

דוגמה פותרת: 1HR יוני 2024 Q16, מותאם. מחלקות רוחב 2, 3, 5, 10, 15 מכילות תדירויות 5, 12, 18, 14, 9. צפויות: $\tfrac52 = 2.5$, $\tfrac{12}3 = 4$, $\tfrac{18}5 = 3.6$, $\tfrac{14}{10} = 1.4$, $\tfrac9{15} = 0.6$ — דרגות המבחן מקבלת פסגות בעלות רוחב נכון שהגבהים שלהם ביחס זה. בדוק את עצמך: הפסגה האחרונה נראית גבוהה רק בגלל שהרוחב שלה הוא 15; השטח שלה הוא $0.6 \times 15 = 9$. ✓

הממוצע מכפיל ומחלק; המינימום מסדר לוקח את אמצע; המודוס הוא התדירות הגבוהה ביותר. עבור 3, 7, 8, 10, 12: ממוצע 8, מינימום 8, טווח $12 - 3 = 9$. עבור נתונים מקובצים, הערך את הממוצע באמצעות אמצעי מחלקות: כפל כל אמצע במשקלו בתדירות, סיכום, חלוקה בסך הכל; הצהר את המחלקה המודאלית (המחלקה בעלת צפיפות התדירות הגבוהה ביותר כאשר הרוחבים משתנים).

דוגמה פותרת: ממוצע קבוצתי. זמנים $t$ (דקות) עבור 25 תלמידים:

$\sum fm = 20 + 105 + 225 + 175 = 525$ ו-$\sum f = 25$, ולכן הממוצע הוא בערך $525 \div 25 = 21$ דקות. זהו רק הערכה, כי כל תלמיד נחשב כאילו נמצא בנקודת האמצע. הקבוצה המוֹדָלִית היא $20 < t \le 30$. חלוקה ב-4 (מספר הקבוצות) במקום ב-25 היא שגיאה נפוצה.

רבעונים גבוהים כמותיים את הפיזור באמצעות רבעונים: סדר את הנתונים, לקח את המינימום, ולאחר מכן המינימום של החצי התחתון והעליון נותנים $Q_1$ ו$Q_3$; הטווח הרבעוני הוא $Q_3 - Q_1$ (עמיד בפני ערכים קיצוניים, בניגוד ל הטווח). עבור 4, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15: המינימום הוא 9.5, החצי התחתון 4, 6, 7, 9 נותן $Q_1 = 6.5$, החצי העליון 10, 12, 14, 15 נותן $Q_3 = 13$, ולכן ה-IQR הוא $13 - 6.5 = 6.5$.

טבלת תדירות מצטברת מוסיפה תדירויות כאשר מחלקות עוברות; צייר כל סה"כ מול הגבול העליון של המחלקה המתאימה וחבר בקו חלק ועולה — ה אוגיבה. קריאה: המינימום הוא הערך ב$\tfrac n2$ על העקומה; הרבעונים ב $\tfrac n4$ ו-$\tfrac{3n}4$; ה-IQR הוא ההפרש ביניהם; האחוזונים פועלים באותו אופן. כך גם, והביטוי "כמה מעל X" קורא את הסכום המצטבר ב-X ומחסר מ-$n$.

דוגמה מפורטת: 2HR יוני 2024 Q11 משפחה, מותאם. זמני שיעורי הבית של 60 עובדים (שעות בשבוע): תדרים מצטברים 6, 17, 27, 42, 60 בגבולות עליונים 10, 15, 20, 25, 30. המדIAN נמצא בעמדה ה30ית של העובד: בין 20 (27 עובדים) לבין 25 (42), ולכן $20 + 5 \times \tfrac{30 - 27}{42 - 27} = 21$ שעות. הרבעונים: העובד ה-15 מייצג $Q_1 = 10 + 5 \times \tfrac{15 - 6}{17 - 6} = 14.1$; ה-45 מייצג $Q_3 = 25 + 5 \times \tfrac{45 - 42}{60 - 42} = 25.8$; IQR $\approx 11.7$. צייר את קווי הקריאה על הגרף — הנקודות מיועדות לקריאות, לא רק לתשובות.

הסתברות מדדה סיכויים בסקאלה מ-0 (בלתי אפשרי) ועד 1 (בטוח). דגם תאורטי סופר תוצאות שוות סיכויים; ניסוי מעריך מתוך תדירות: $P(\text{event}) \approx \tfrac{\text{times it happened}}{\text{trials}}$ (הערכות מתוך נתונים שנאספו מראש כלולות). חלל הדגימה מפרט את כל התוצאות — לשני אירועים עוקבים, רשת או רשימה שיטתית; הסתברות של אירוע סופרת את התאים המועדפים. חוק המשלים: $P(A') = 1 - P(A)$ — לעיתים קרובות הדרך המהירה (שאלות "לפחות אחד").

תרשימי ון: אזורים לכל קבוצה ולמחלקה; ההסתברויות ממלאות את אזורים וסכומם 1, עם $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. דוגמה: 30 תלמידים, 18 אוהבים קריקט ($C$), 15 טניס ($T$), 7 שניהם: $P(C \cup T) = \tfrac{18 + 15 - 7}{30} = \tfrac{26}{30}$, and $P(\text{neither}) = 1 - \tfrac{26}{30} = \tfrac{2}{15}$.

דיאגרמות עץ כופרים לאורך הענפים ומחברים בין תוצאות. WITH replacement, ענפים חוזרים — האירועים הם בלתי תלויים: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. WITHOUT replacement, המכנה של ענף השני יורד ב-1 והמונה יורד לפי התוצאה הראשונה: ההוצאות תלויות, וה עבודה מראה את שביתות השבר המתחלפות.

דוגמה מפורטת: 1HR יוני 2024 Q21 משפחה, מותאם. תיק מכיל 5 אדומים, 6 כחולים ו- 9 ירוקות; שתי נלקחות ללא החזרה. $P(\text{אחת אדומה ואחת כחולה, בכל סדר}) = \tfrac{5}{20} \times \tfrac{6}{19} + \tfrac{6}{20} \times \tfrac{5}{19} = \tfrac{60}{380} = \tfrac{3}{19}$. הגרסה של המסמך מפעילה אותה מנגנון עם מספר לא ידוע $x$ ומפתור את המשוואה הריבועית resulting (תוצאותיו מאומתות: $x = 11$, סופי הסיכוי $\tfrac7{75}$): שווים את הביטוי בעל שני הערוצים לסיכוי הנתון פיתוח, פתרון, ודחיית השורש שההקשר אוסר עליו.

דוגמה מפורטת: סכול לא ידוע. תיק מכיל $n$ סוכריות, מהן 6 כתומות. נלקחות שתי סוכריות ללא החזרה, ו-$P(\text{both orange}) = \tfrac13$. מצאו את $n$.

מספר הסוכריות אינו יכול להיות שלילי, ולכן $n = 10$. בדיקה: $\tfrac{6}{10} \times \tfrac{5}{9} = \tfrac{30}{90} = \tfrac13$. ✓

סיכוי מותנה מצמצם את העולם: $P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ — על דיאגרמת עץ, הענף השני בהינתן שהראשון התרחש. עם התיק למעלה, $P(\text{blue second} \mid \text{red first}) = \tfrac{6}{19}$ קרא ישר מהענף.

• טבלה והצגת נתונים; פרשנות גרפים והשוואת התפלגויות (F 6.1 A–C).
• ציור היסטוגרמות עם רוחבים לא שווים באמצעות צפיפות תדר; השטח הוא התדר (H 6.1 A; יוני 2024 1HR Q16).
• ממוצע, חציון, מוד, טווח; ממוצע לקבוצות באמצעות נקודות אמצע; מחלקת המוד (F 6.2 B–D).
• רביעיות ו-IQR לנתונים דיסקרטיים לפי מיקום (H 6.2 B–C).
• בניית עקומות תדר מצטבר מטבלאות; קריאת חציון, רביעיות, IQR ואחוזונים עם קווי קריאה מצוירים (H 6.1 B–C, H 6.2 A, D; יוני 2024 2HR Q11).
• סקאלת הסתברות; הערכות תיאוריות מול ניסוייות; מרחבי דגימה וספירה שיטתית לשתי אירועים; דיאגרמות ון עם חוק הסכום; משלימים (F 6.3 A–H).
• דיאגרמות עץ: כופלים לאורך, מחברים בין; עם החזרה (בלתי תלויות) מול ללא החזרה; הסתברות מותנית קוראים מהענפים; הגדרות אלגבריות שמסתיימות במשוואות ריבועיות (H 6.3 A–D; יוני 2024 1HR Q21 משפחה).

הערות גבול: בהיסטוגרמות משתמשים בצפיפות תדר (לא בתדר) כאשר רוחבים שונים; מסורת הרביעיות כאן היא מיקומית (חציון של המחצית התחתונה והעליונה); ערך מצופה וסימון קבוצתי פורמלי שייכים ללימודים מתקדמים. מועמדי רמת הבסיס עונים רק על שורות 6.1–6.3 ברמת הבסיס. דוגמאות מפורשות הן משונות מבמבחני יוני 2024 שנבדקו או מקוריות; שאלות בדף הן מקוריות אלא אם כן