4 · Geometry and trigonometry

4MA1 נושא 4 (גרסת תוכנית לימודים 2, נובמבר 2017) הוא הנושא הגדול ביותר: שורות 4.1–4.11 מכסים עובדות זווית, מצערים, מידות, בנייה, לשון מעגל, פיטגורס וטריגונומטריה 2D, מנסורציה וחופף; הרמה הגבוהה מוסיפה את תכונות המיתר החוצה, את תוכנית ההסקות המלאה לגבי משפטי המעגל, טריגונומטריה לזווית קהה וללא ישר, בעיות 3D, דירוגים, חרוטים, כדורים והיחסים בין חופפים ב-$k^2/k^3$. בדפי ההרמה הגבוהה ביוני 2024, סעיף זה סיפק את שרשראות AO3 רב-שלבים: מעקב מוסק בגבי משפטי מעגל, שטח משושה מורכב, זווית משפט הקוסינוס ב-3D ומשוואת גוף דומה ב-$k^3$.

חובה לדעת לנושא 4 (דף הנוסחאות להרמה הגבוהה מספק את משפטי הסינוס/קוסינוס, ½ab sin C, ומשוואות הנפח והשטח של חרוט וכדור):

זוויות מחולקות לחדות ($< 90°$), ישרה, קהה ($90°$–$180°$) ומשולבת ($> 180°$). זוויות על קו ישר סכומן 180°, סביב נקודה 360°, בזוויות אנכיות שוות, וקווים מקבילים נותנים זוויות מתאימות שוות וחברות זוויות חלופיות (זוויות מיוחדות סכומן 180°). הזווית החיצונית של משולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות הרחוקות, והסכום הוא 180°; משולש שווי שוקיים יש לו שתי צלעות שוות ושתי זוויות בסיס, משולש שווה צלעות שלו בכל אחת ב 60°.

רב-צלעות נושא שמות לפי מספר הצלעות; מעוין יש לו סכום זוויות של 360°, וסכום הזוויות הפנימיות בכל רב-צלעות הוא $(n-2) \times 180°$. כל רב-צלעות משוכללת יש לה כל הצלעות והזוויות שוות: זווית חיצונית $= 360°/n$, פנימי $= 180° - 360°/n$ — למעוין קבוע יש זוויות פנימיות של 108°. המעגלים הארבע המיוחדים משתלבים: מקבילית (צלעות וזוויות נגדיות שוות, אלכסונים מחלקים למחצית), מלבן (גם זוויות ישרות), משושה (גם כל הצלעות שוות, אלכסונים מאונכים), מרובע, עטלף, טרפז (זוג אחד מקביל). שני צורות הן מוזהים כשהן זהות בצורה ובגודל (תנאי SSS, SAS, ASA, RHS); דומים צורות יש להן זוויות שוות עם צלעות תואמות ביחס.

קו סימטריה של צורה מחזיר אותה על עצמה; **סדר הסימטריה הסיבובית של צורה הוא מספר התאמות לעצמה במהלך סיבוב אחד (מלבן: 2 קווים, סדר 2; מעוין קבוע: 6 קווים, סדר 6).

קראו קנה מידה של מכשירים בצורה הגיונית והעריכו לפני החישוב; רווחי זמן פועלים בשני מערכות שעון 12-שעותיות ו-24-שעותיות. מדידת זווית כוללת כיוונים משולשים: נמדדים עם כיוון השעון מצפון, נכתבים כשלושה ספרות — 040°, לא 40°. הכיוון החזרה הופך את הכיוון: אם N נמצא ב-040° ממיקום P, אזי P נמצא ב-220° ממיקום Q (הוסיפו 180°, תוך לקיחת התוצאה מודולו 360).

מהירות ממוצעת היא מרחק חלקי בזמן; צפיפות היא מסה חלקי לנפח; לחץ הוא כוח חלקי לשטח — כל אלו משתייכים למשפחה אחת של מידות מורכבות: קבעו את המונחים ליחידות (km/h, g/cm³, N/m²) והמירו בזהירות. רכב שגם 234 ק"מ ב2 שעות 36 דקות ממוצעים $234 \div 2.6 = 90$ ק"מ/שעה.

מדדו ואיירקו קווים עד למילימטר הקרוב ביותר; בנו משולשים לפי SSS, SAS או ASA בעזרת סרגל ומספרת. עם סרגל ישר ומספרת ניתן לבנות (i) את אנכי האמצע של קטע ישר ו-(ii) את מחלק הזווית; אלו מאפשרים גם לבנות זוויות ספציפיות (60° באמצעי בניית קשת משולש שווה צלעות, 90° באמצעי אנכיות, 45° באמצעי חלוקה). הבנייה עונה על שאלות מקום גיאומטרי: קבוצת הנקודות שהן במרחק קבוע מנקודה (מעגל), מקו (זוג מקבילים), שוות מרחק משתי נקודות (אנכי האמצע) או משתי קווים (מחלק זווית) — צבועו את האזור העונה על מספר תנאים בו-זמנית.

מיפויים ובניית קנה מידה כוללים יחס (1 : 50 000): המירו מרחק במפה למרחק אמיתי מרחק דרך גורם הקנה, תוך שמירה על יחידות במפורש.

מונחי מעגל: מרכז, רדיוס, קוטר, מיתר, היקף, משיק (נוגע בנקודה אחת, מאונך לרדיוס במקום זה), קשת, מדרגה, מקטע. בבסיס משתמשים בתכונות המיתר והמשיק באופן לא פורמלי; ברמה הגבוה נדרשת ההוכחה המלאה התוכנית עם הוכחות סטנדרטיות. משושה מעגלי הוא בעל זוויות נגדיות שסכמן 180°; הזווית במרכז היא פי שתיים מהזווית על המעגל על אותה קשת; זוויות באותו מקטע שוות; הזווית במחצית עיגול (עומדת על קוטר) היא זווית ישרה; והזווית בין משיק למיתר שווה ל הזווית במקטע המתחלף (משפט המקטע המתחלף). תכונות מיתר: המאונך מהמרכז מחלק את המיתר לשני חלקים שווים; שני מיתרים נחתכים מקיימים $AE \times EB = CE \times ED$, ואת הגרסה הפנימית/חיצונית כוח משפחה זו.

דוגמה מוצעת: 1HR יוני 2024 Q13, מותאם. $A$, $B$, $C$, $D$ נמצאים על עיגול מרכזו $O$ עם $\angle BCD = 128°$; מצאו $\angle OBD$. זוויות נגדיות של המשושה המעגלי סכמן 180°, ולכן $\angle BAD = 180 - 128 = 52°$. הזווית במרכז היא פי שתיים מהזווית על המעגל באותה קשת: $\angle BOD = 104°$. משולש $OBD$ הוא שווה שוקיים ($OB = OD$, רדיוסים), ולכן $\angle OBD = \tfrac{180 - 104}{2} = 38°$. כל צעד מספרי מציין את הסיבה — ולבדוק זה מה שרשימת הנקודות משלמת עבורה.

Pythagoras' theorem: $a^2 + b^2 = c^2$ in right-angled triangles (6-8-10 is a whole-number triple; 5-12-13 another). SOH CAH TOA gives $\sin\theta = \tfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$, $\cos\theta = \tfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$, $\tan\theta = \tfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$ — used forwards for sides and backwards (Shift-sin) לזוויות. זווית הגובה עולה מהאופק, ה-זווית הירידה יורדת ממנו (זוויות חלופיות מובילות אותה לתוך המשולש). זווית הורידה יורדת ממנו (זוויות אלטרנטיביות מובילות אותה לתוך המשולש).

חיובי), $\sin 130° = \sin 50°$ (קוסינוס הופך לשלילי). כל משולש כעת נכנע ל- חוק הסינוס $\cos 130° = -\cos 50°$ (זוג — צלע מול חוק הסינוסים $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ (זוג — צד על) זווית נגודתו — פלוס עוד חלק) או חוק הקוסינוסים $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (שני צלעות והזווית הכלולה ביניהן, או שלושה צלעות), ואת נוסחת השטח $\tfrac12 ab\sin C$ עובדת הפוך: שטח 15 עם $a = 6$, $b = 10$ נותן $\sin C = \tfrac{2 \times 15}{60} = 0.5$, ולכן $C = 30°$ (או $150°$ אם הדיאגרמה מראה זווית קהה).

דוגמה מוצעת: חוק הסינוסים. במשולש $ABC$, $\angle A = 40°$, $\angle B = 65°$ ו $a = BC = 8$ ס"מ. מצאו $b = AC$. השתמשו בזוג צד-מול-זווית פעמיים:

דוגמה מוצעת: חוק הקוסינוסים עם זווית קהה. שני צדים ↟ $7$ ס"מ ו↟ $9$ ס"מ נפגשים ב↟ $110°$. מצאו את הצד השלישי ↟ $a$:

מכיוון ש-$\cos 110°$ שלילי, האיבר האחרון נוסף; הצלע המולית לזווית קהובה היא הארוכה ביותר. ודאו שהמחשבון מוגדר למצב מעלות.

בעיות 3D הן בעיות 2D בתוך גוף: זיהוי המשולש הישר הזווית, ואז פיטגורס או טריגונומטריה כרגיל. במקבילית עם בסיס 6 ס"מ × 8 ס"מ וגובה 10 ס"מ, האלכסון של הבסיס הוא $\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ ס"מ, ואלכסון המרחב הוא $\sqrt{6^2 + 8^2 + 10^2} = \sqrt{200} \approx 14.1$ ס"מ; הזווית בין הקוטר החללי ובין קוטר הבסיס מקיימת $\tan\theta = \tfrac{10}{10}$, ולכן $\theta = 45°$.

דוגמה פותרת: 1HR יוני 2024 Q22, משוחרר. נקודות $B$, $M$, $P$ בקופסה מוצקה יש להם $BM = \sqrt{200}$, $BP = \sqrt{244}$ ו$MP = 10$ (כל אורך נמצא באופן עצמאי על ידי פיתגורס במשולש ישר זווית בתוך הקופסה). זווית $BMP$ דורשת את חוק הקוסינוסים על משולש $BMP$:

סדר פעולה: לזהות את המשולש היעד, למצוא את שלושת צלעותיו (כל אחד עשוי לדרוש its own Pythagoras), then apply the cosine or sine rule, keeping the angle you want at מרכז הסימונים.

המרות מטריות: אורך ס"מ↔מ' פי 100, שטח פי $100^2$, נפח פי $100^3$ (1 מ'³ = 10⁶ ס"מ³). היקפים ושטחים נבנים ממשולשים ($\tfrac12 bh$), מלבנים, מקביליות ($bh$) ומעוינות ($\tfrac12(a+b)h$); לעגל יש היקף $2\pi r$ ושטח $\pi r^2$ (כולל חצי עגלים). צורות מורכבות מתפרקות לחלקים אלו.

דוגמה פותרת: 2HR יוני 2024 Q10, משוחרר. משושה $ABCDEF$ עם $AB \parallel FC \parallel ED$ with $AB = 11$, $ED = FC = 23$, the perpendicular distance between $FC$ ו$ED$ שווים ל4.7 (ס"מ) והצלע המוטה $BC = 5$ יוצרת זווית $30°$ עם $FC$. הרצועה בין $FC$ ל$ED$ נמצא מלבן; מעליו גובה הטרפז $ABCF$ הוא $5\sin 30° = 2.5$. פירוק: מלבן $23 \times 4.7 = 108.1$ פלוס טרפז $\tfrac12(11 + 23) \times 2.5 = 42.5$, ולכן השטח הוא $150.6\ \text{cm}^2$ (ערך מדויק $\tfrac{753}{5}$). יש למשוט את קווי הפירוק לפני החישוב.

הגדרות מתקדמות כוללות מספרים: קשת $= \tfrac{\theta}{360} \times 2\pi r$, שטח המספר $= \tfrac{\theta}{360} \times \pi r^2$ — for $r = 9$, $\theta = 40°$: arc $= 2\pi \approx 6.28$, area $= 9\pi ≈ 28.3$. היקף העיגול מחבר שתי רדיוסים. גופים: פריזמות $V = \text{cross-section} \times \text{length}$ (קוביה, צילינדר $V = \pi r^2 h$, שטח $2\pi r^2 + 2\pi rh$); הקונוס $V = \tfrac13 \pi r^2 h$ עם שטח מעוגל $\pi r l$ ($l$ הוא הגובה הזוויתי); כדור $V = \tfrac43\pi r^3$, שטח $4\pi r^2$. A cone $r = 3$, $h = 4$ has $l = 5$ (Pythagoras), $V = 12\pi$, curved $15\pi$.

לצורות דומות יש אורכים מקבילים ביחס קבוע $k$ (גורם הדמייה :) ולכן השטחים נספרים פי $k^2$ והנפחים פי $k^3$ — ולהפך, יחס שטח $4 : 9$ אומר יחס אורך $2 : 3$. מפות ומודלים משתמשים ב$k$ ישירות.

דוגמה פותרת: 2HR יוני 2024 Q24 סדרה, משוחרר. גוף מוצק $B$ דומה לגוף $A$ כאשר כל אורך ב$k$ הוא פעמים $A$'. הנפחים נספרים פי $k^3$: זוג זוג כדור-חצי-כדור נותן $k^3 = \tfrac{125}{8}$, ולכן $k = \sqrt[3]{\tfrac{125}{8}} = \tfrac52 = 2.5$. A second pair with length ratio $4$ has volume ratio $4^3 = 64$ — ה גוף הגדול מכיל 64 פעמים מהקטן. חשבו את היחס על אורך תחילה, ואז רבעו או קובעו אותו במופע אחד.

דוגמה פותרת: שטח ליחידת נפח. שתי בקבוקים דומים יש להם שטחים $180\ \text{cm}^2$ ו-$405\ \text{cm}^2$. הקטן מכיל $320\ \text{cm}^3$. מצאו את נפח הגדול. עברו על מקדם הקנה המידה לאורך:

הטעות הנפוצה היא להכפיל את הנפח ביחס השטח $2.25$ (ומקבלים $720\ \text{cm}^3$).

• סיווג זוויות; שימוש בעובדות קו, נקודה, קו מקביל וזווית משולש, כולל סכמי זוויות חיצוניות ורבועים עם זוויות פנימיות/חיצוניות של רבועים שווה-צלעות (F 4.1, 4.2).
• זיהוי סימטריה: צירים ומערכת סיבוב (F 4.3).
• שימוש בכיוונים, מהירות/מרחק/זמן, צפיפות ולחץ כמידות מורכבות (F 4.4).
• בניית משולשים, מחלקי זוויות ומאונכים; מענה לשאלות מקום לוקוס ושרטוט בקנה מידה (F 4.5, F 4.11 B).
• שימוש במונחי מעגל ובמאפייני מיתר/משיק; גבוה: רבועים מעגליים, זוויות במרכז/במעגל, מיתרים נחתכים – כל צעד עם הסיבה הסטנדרטית שלו (F 4.6–4.7, H 4.6–4.7; יוני 2024 1HR Q13).
• פייתגורס ו-SOH CAH TOA ב-2D עם גבהים ושפל; יחסים קהובים, חוק הסינוסים, חוק הקוסינוסים ו-½ab sin C כולל הפוכות (F 4.8, H 4.8 A–C, E).
• פתרון בעיות 3D על ידי הפרדת משולשים ישרי-זווית; חוק הקוסינוס על המשולש המופרד (H 4.8 D, F; יוני 2024 1HR Q22).
• היקפים ושטחים כולל טראפזיות, מעגלים וסקטורים; שטחים נפחיים ונפחים של גלילים, עגלות, קונוסים וכדורים עם המרת יחידות (F 4.9–4.10, H 4.9, H 4.10; יוני 2024 2HR Q10).
• יחסים בין אורך : שטח : נפח $k : k^2 : k^3$, השימוש בשני הכיוונים (F 4.11, H 4.11; יוני 2024 2HR Q24 סדרה).

הערות גבול: כיוונים הם בעלי שלושה ספרות; הבניות נבחנות לפי קשתות נראות לעין (השאירו אותן); רדיאנים אינם כלולים – רק מעלות; המקרה האמביוגני של חוק הסינוס ו עבודת מעגלים ב-stereogrammetry 3D היא מחוץ לרשימה. Foundation מתאים רק לשורות 4.1–4.11 של Foundation. דוגמאות פתורות מותאמות מזוג' Higher של יוני 2024 (ראו את העדויות להערכה של Meta); שאלות בדף הן מקוריות אלא אם כן מסומנות.