3 · Sequences, functions and graphs

4MA1 נושא 3 (גירסת מפרט 2, נובמבר 2017). שורות הבסיס 3.1 ו-3.3 משותפות לרמת גבוהה; בלוק הסימון הפונקציונלי 3.2 ובלוק הגזירה 3.4 הם ייחודיים לרמת גבוהה, וכן רמת גבוהה 3.3 מרחיבה את עבודת הגרפים לסוגים קוביים, היפוכים, עקומות טריגונומטריות, שינויי מיקום וחיתוכים. בבחינות יוני 2024 ברמת גבוהה, סליל זה הוא הכבד מבין ששת הנושאים (כ-שליש מכל בחינה) ומכיל את קריטריוני ההבחנה A/A*: סכומי סדרות אלגבריות, פונקציות מרוכבות, ישרים מאונכים, חיתוכי ישר-עקומה ונקודות קיצון.

חובה לדעת לנושא 3 (דף הנוסחאות לרמת גבוהה מציג רק את כללי הסדרה והטרפז):

כלל איבר-לאיבר מסביר כיצד לקבל את האיבר הבא (להוסיף 4: 5, 9, 13, 17, …; להכפיל ב-2: 1, 2, 4, 8, …); כלל מיקום-לאיבר נותן איבר ישירות ממיקומו. עבור סדרה אריתמטית עם איבר ראשון $a$ ו-הפרש הפרש $d$, האיבר ה$n$ הוא $u_n = a + (n-1)d$: עבור 1, 3, 5, 7, … הכלל הוא $2n - 1$, ו"איבר n הוא $4n + 3$" מייצר 7, 11, 15, … בדוקי כלל מוצע בשני מיקומים לפני שתיאמנו אותו.

גבוהה מוסיפה את סכום סדרה חישוקית. זיווג ראשון עם אחרון, שני עם השני מאחרון, … נותן $n/2$ זוגות שווים בסכומם של $a + u_n$:

עבור $4+7+10+13+\cdots$: $a=4$, $d=3$, ולכן $S_{50} = 25\,(8 + 49 \times 3) = 25 \times 155 = 3875$. Recovering $a$ and $d$ משני איברים משתמש בכלל האיבר כמערכת משוואות מקבילה: אם $u_2 = 7$ ו$u_5 = 19$, אז $3d = 12$, ולכן $d = 4$ ו$a = 7 - 4 = 3$.

*הוספת 3 בכל פעם: איבר n-th 3n + 2, ולכן האיבר השמיני הוא 26

דוגמה מפורשת (1HR יוני 2024 שאלה23, מותאם). שלושה איברים עוקבים של סדרה חישוקית הם $4x-14$, $x+2$ ו$7x-9$. איברים עוקבים נושאים הפרש קבוע, לכן $(x+2)-(4x-14) = (7x-9)-(x+2)$, המניב $-3x + 16 = 6x - 11$, ולכן $x = 3$. האיברים הם $-2, 5, 12, \ldots$: $a = -2$, $d = 7$. אזי $S_{40} = 20\left[2(-2) + 39 \times 7\right] = 20 \times 269 = 5380$. Keep $a$, $d$ סימולטי עד ההצבה הסופית — האלגברה, ולא החישוב החישובי, מביאה את הנקודות.

פונקציה** מקשרת כל קלט ממערך אחד לקלט מדויק ממערך אחר: כתוב $f(x) = \ldots$ או $f{:}\ x \mapsto \ldots$ התחום** הוא קבוצת הקלט המותרים; הטווח** הוא קבוצת הפלטות. יש להexclude קלטות שמפרות את הכלל: עבור $f(x) = \dfrac{1}{x-2}$ יש להexclude $x = 2$; עבור $f(x) = \sqrt{x}$ לקחת $x \ge 0$.

הפונקציה המורכבת** $\mathrm{fg}(x) = f(g(x))$ מפעילה תחילה $g$, ולאחר מכן $f$ — הפלט של $g$ חייב להיות קלט מותר עבור $f$. הפונקציה ההופכת $f^{-1}$ מבטל את $f$, וקיים רק כאשר $f$ הוא אי-חד-ל-אחד: עבור $f(x) = \sqrt{x-2}$ (תחום $x \ge 2$, תמונה $f \ge 0$), כתיבת $y = \sqrt{x-2}$ והעלאה בריבוע נותנת $x = y^2 + 2$, ולכן $f^{-1}(x) = x^2 + 2$ בתחום $x \ge 0$. תמיד בדוק את $f^{-1}(f(x)) = x$.

דוגמה פתורה (2HR יוני 2024 שאלה 17, משולבת). $f(x) = \dfrac{x}{2x-4}$ ו $g(x) = 3x+1$; מצא $k$ בהינתן $\mathrm{fg}(k) = 2$. קודם $g(k) = 3k+1$, ואז

לכן $3k+1 = 12k-4$, מה שמניב $9k = 5$ ו$k = \tfrac59$. (קיצור דרך שרצוי לדעת: פתרון $f(x) = 2$ קודם נותן $x = 8/3$, לכן הגדר $g(k) = 8/3$ — אותה תשובה עם מעט אלגברה פחותה.)

קואורדינטות קרטזיות מסמנות נקודות בכל ארבע הרבעונים; אמצע מחשב את הממוצע של הקואורדינטות בקצה: $M = \left(\tfrac{x_1+x_2}{2}, \tfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. השיפוע של קו ישר הוא שינוי ב$y$ מחולק בשינוי ב$x$: דרך $(1,7)$ ו $(2,9)$ השיפוע הוא $2$. קו $y = mx+c$ בעל שיפוע $m$ וחוצה את ציר ה$y$ ב $(0,c)$ — עבור $y = 3x+5$, שיפוע 3 וחתך $(0,5)$. מקרים מיוחדים: $x = k$ הוא אנכי (ללא שיפוע סופי), $y = c$ הוא אופקי (שיפוע 0). גרפי המרה (מטבע, טמפרטורה) נקראים באותו אופן.

פרשנות גרפים אמיתיים היא חלק ממסגרת זו: בגרף מרחק–זמן השיפוע הוא מהירות; בגרף מהירות–זמן השיפוע הוא תאוצה והשטח מתחת לגרף הוא מרחק שטוי. תרגול גרפי כולל מילוי טבלאות ערכים לקווים ישרים (כולל צורות $ax + by = c$) ולפונקציות ריבועיות, וציור עקומה חלקה דרך נקודות הגרף — לעולם לא קטעי ישר ביניהן. נקודות הגרף — לעולם לא קטעי ישר ביניהן.

קווים מקבילים בעלי אותה שיפוע. קווים מאונכים בעלי שיפועים שכפולם ל-$-1$: מאונך ל-$m$ הוא $-1/m$. הקו העובר דרך $(x_1, y_1)$ עם שיפוע $m$ הוא $y - y_1 = m(x - x_1)$.

דוגמה פתורה (2HR יוני 2024 שאלה21, משונה). $ABCD$ היא ריבוע עם $A(-5, 2)$ ו- $B(3, 5)$; מצאו את המשוואה של $BC$ בצורת $ax + by + c = 0$. צלעות סמוכות של ריבוע הן מאונכות. השיפוע של $AB$ הוא $\tfrac{5-2}{3-(-5)} = \tfrac38$, לכן השיפוע של $BC$ הוא $-\tfrac83$. דרך $B(3,5)$: $y - 5 = -\tfrac83(x-3)$, ולכן $3y - 15 = -8x + 24$, וזה נותן $8x + 3y - 39 = 0$. פתחו בסוף כדי ש-$a$, $b$, $c$ יהיו מספרים שלמים, כפי שנדרש.

רמה גבוהה 3.3 דורשת זיהוי וגרפיקה של שלושה סוגי עקומים מעבר לפונקציות ריבועיות: מעריכיות $y = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ (כל הסימנים; $y = x^3 - 4x$ עולה-יורד-עולה), הופכי $y = A/x$, $y = A/x^2$, $y = A/x^3$ (שני ענפים, אסימפטוטות, אינו חוצה מעולם את הצירים) ו- הגרפים הטריגונומטריים $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$ לזוויות בכל גודל ב- מעלות — סינוס וקוסיןוס מתנודדים בין $-1$ ל-$1$ עם מחזור 360°; טנגנס חוזר כל 180° ומתנתק ב-$90° + 180°n$. עיגול שמרכזו בראשית הצירים הוא $x^2 + y^2 = r^2$ — העיגול נכנס לקורס זה כעקומה השנייה בחיתוך שאלה.

נדרשות ארבע המרות ל-$y = f(x)$, עבור פונקציות ליניאריות, ריבועיות, סינוס ו- קוסינוס:

הצורות הפנימיות פועלות "להפוך" על $x$ ורק על $x$. עבור $f(x) = x^2$: $y = f(x-2)+5 = (x-2)^2 + 5$ moves the minimum from $(0,0)$ to $(2, 5)$; $y = f(2x) = 4x^2$ מחלק למחצית ערכי $x$, מה שהופך את הפרבולה לצרה יותר ולא גבוהה יותר. עבור $y = \sin 2x$ התקופה מתחלקת ב ל180°. קראו טרנספורמציה מצורעת מהגרף (לאן עבר נקודת המעגול?) ו- עלייה/ריצה – נמדדת הקו השורט, לא העקומה. שטפים מדויקים של עקומות דורשים חשבון (פרק הבא).

שיפועים של עקומות: שרטטו מגע בנקודה וקחו את השיפוע שלה כ- עלייה/ריצה — הנקודה השרטוטית, לא העקומה, נמדדת. שיפועים מדויקים של עקומות דורשים חשבון אינפיניטסימלי (פרק הבא).

נקודות חיתוך: הערכים $x$ בהם קו ישר $y_1$ פוגע בעקומה לא-ליניארית $y_2$ הם הפתרונות של $y_2 - y_1 = 0$. נקודות המפגש בין $y = 2x+1$ ל-$y = x^2 + 3x - 2$ פותרות דוגמה מוצגת ($x^2 + x - 3 = 0$HR יוני $y = 5$ Q$y = x^3 - 3x^2 + 7$, מותאם). מצאו היכן הישר $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$ נפגש

דוגמה עבודה (2HR June 2024 Q22, משוכתב). מצאו היכן הקו $y = 3x - 1$ נפגש העקומה $x^2 + y^2 = y + 11$. הצב את הישר לעקומה:

ולכן $x = -\tfrac35$ או $x = \tfrac32$, כאשר $y = 3x-1$ נותן $y = -\tfrac{14}{5}$ או $y = \tfrac72$. הנקודות הן $\left(-\tfrac35, -\tfrac{14}{5}\right)$ ו $\left(\tfrac32, \tfrac72\right)$ — הצב חזרה למשוואת ה-אחרת לבדיקה: $\tfrac94 + \tfrac{49}{4} = \tfrac{58}{4} = 14.5 = \tfrac72 + 11$. ✓

שיפוע העקומה משתנה לאורכה: קצב שינוי משתנה. גזירה נותנת זאת בדיוק: עבור כוחות של $x$,

עבור $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$: $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 16x - 12$. נקודת קיצון יש לה $\dfrac{dy}{dx} = 0$: כאן $3x^2 - 16x - 12 = (3x+2)(x-6)$, ולכן $x = -\tfrac23$ או $x = 6$. הבדל בין מקסימום ל-מינימום לפי צורת הגרף: פולינום מעריכתי עם מקדם $x^3$ חיובי עולה-יורד-עולה... כאן $y \to -\infty$ כאשר $x \to -\infty$, ולכן נקודת הקיצון השמאלית $x = -\tfrac23$ היא המקסימום ($y = \tfrac{247}{27} \approx 9.1$) and the right one is the minimum ($y(6) = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$).

דוגמה מופת (1HR יוני 2024 שאלה19, מותאם). $C$ יש לו משוואה $y = x^3 - 8x^2 - 12x + 5$ ולשתי נקודות קיצון מדויקות $A$ ו$B$ עם $x_A > x_B$; מצא $A$. גזר ו השווה לאפס: $(3x+2)(x-6) = 0$, ושורש הגדול יותר הוא $x = 6$. בהצבה במשוואת העקומה: $y = 216 - 288 - 72 + 5 = -139$, ולכן $A = (6, -139)$. המטרים נובעים מהשרשרת — גזור (לפחות שני איברים נכונים), השווה לאפס, פתר את המשוואה הריבועית, הצב חזרה.

קינמטיקה: כאשר ההזזה היא $s$ במטרים לאחר $t$ שניות, המהירות היא הקצב של שינוי בהזזה והתאוצה היא קצב השינוי במהירות: $v = \dfrac{ds}{dt}$, $\quad a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2s}{dt^2}$. עבור $s = t^3 - 24t$ (מטר, $0 \le t \le 20$): $v = 3t^2 - 24$ m/s ו- $a = 6t$ m/s². החלקיק particle is instantaneously at rest where $v = 0$: $t = \sqrt{8} = 2.83$ s (3 s.f.).

• ליצור סדרות לפי כללים מהאיבר לקודם ולפי מיקום; למצוא את הכלל של סדרת מספרים שלמים (F 3.1 A–B).
• חיבור סדרה אריתמטית עם $u_n = a + (n-1)d$, כולל איברים אלגבריים (H $a$ C; June $d$ 3.1HR Q3.1).
• לסכום סדרה אריתמטית עם $S_n = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$, כולל איברים אלגבריים (H 3.1 C; June 2024 1HR Q23).
• להשתמש בסימון $f(x)$ ו-$f{:}\,x\mapsto$; לציין תחומי הגדרה עם יוצאים מכלל וטווחים (H 3.2 A–C).
• Build $\mathrm{fg}(x)$ — $g$ first — and find $f^{-1}$ on a one-to-one domain (H 3.2 D; June 2024 2HR Q17).
• לקרוא, לשרטט ולפרש גרפים בכל הרבעונים: נקודות אמצע, גרפי המרה, גרפי מרחק/מהירות-זמן, טבלאות ערכים (F 3.3 A–I).
• שיפעים משתי נקודות; $y = mx + c$; משוואות של קווים מקבילים ומאונכים דרך נקודה (F 3.3 G–H, H 3.3 F–G; June 2024 2HR Q21).
• זיהוי ושרטוט פונקציות קוביות, עקומות יחסית, $\sin/\cos/\tan$, ועיגול הממוקם במרכז נקודת המקור $x^2+y^2=r^2$ (H 3.3 A).
• שימוש וקריאה של ארבע ההמרות $f(x)+a$, $f(x+a)$, $af(x)$, $f(ax)$ (H 3.3 B–C).
• הערכת השיפוע של עקומה על ידי שרטוט מגע (H 3.3 D).
• פתרון חיתוכים ליניאריים-לא ליניאריים באמצעות $y_2 - y_1 = 0$ ובדיקה בהצבה (H 3.3 E; June 2024 2HR Q22).
• יישום דיפרנציאל לתנועה: 3.4, 2024, ו"במנוחה" פירושו 1 (H 19 E).
• שימוש בנזירה בתנועה: $v = ds/dt$, $a = dv/dt$, ו"במצב רגיעה" פירושו $v = 0$ (H 3.4 E).

הערות לגבול: סדרה גיאומטרית וסכום לאינסוף אינם נכללים ברמה זו (ללא שורות גיאומטריים ב-4MA1 3.1); הגזירה מוגבלת לחזקות שלמות של $x$ — כלל השרשרת, כלל המכפלה והמנה אינם כלולים; מדידת רדיאן אינה כלולה (דרגות בכל מקום). מועמדים ברמת היסוד עונים רק על 3.1 ועל 3.3. הדוגמאות הפעולות למעלה מותאמות מה- בדיקה ביוני 2024 זוג הרמה הגבוהה (ראו את מסמכי ההערכה במטא); כל השאלות האחרות ב- הדפים הן מקוריות.