2 · Equations, formulae and identities

4MA1 נושא 2 (דרישות בע issue 2, נובמבר 2017). שורות רמת היסוד 2.1–2.4, 2.6–2.8 הן משותפות עם הרמה הגבוהה; פרופורציה (2.5) היא בגובה-רק, והרמה הגבוהה ממשיכה עיבוד אל שברים מעריכיים, פיתוחים משולשים, שברים אלגבריים, השלמה לריבוע, הוכחות, זוגות ליניאריים-ריבועיים ואי-שוויונים ריבועיים. במבחני יוני 2024 הרמה הגבוהה מחלקת זו שוב מכילה את הקריטריונים להשגת ציון A/A*: משוואת מעריכים, הוכחת שבר מחזורי, חילוק שברים אלגבריים, השלמת ריבוע עם מינימום מוטרף, ואי-שוויון ריבועי.

חובה לדעת לנושא 2 (דף הנוסחאות ברמת ההערכה מעלה נותן רק את הנוסחה לריבועית):

סמלים מייצגים מספרים לא ידועים במשוואות או משתנים בביטויים ונוסחאות; ביטויים אלגבריים עוקבים אחרי הכללים המוגנרליזציה של חשבון. משוואה שואלת שכל כניסה עובדת; זהות תקפה לכל כניסה מותרת. סימון מעריכי כוסף מעריכים חיוביים, שליליים ואפס: $a^3 = a \times a \times a$, $a^0 = 1$, $a^{-1} = \tfrac1a$, והרמה מוסיף מעריכים שבריים: $x^{1/2} = \sqrt{x}$, $x^{1/3} = \sqrt[3]{x}$, $x^{2/3} = (\sqrt[3]{x})^2$. חוקי המעריכים משלבים אותם: $x^m \times x^n = x^{m+n}$, $x^m \div x^n = x^{m-n}$, $(x^m)^n = x^{mn}$ — כפל פירושו להוסיף את המעריכים; חלוקה פירושה לחסור.

Worked example (2HR June 2024 Q7, adapted). $\dfrac{3^{n-2} \times 3^{n+5}}{3^{3n+10}} = 1$. Same base throughout, so the indices combine: $(n-2) + (n+5) - (3n+10) = 0$, שזה ש$-n - 7 = 0$. לכן $n = -7$. לעולם אל תכפול את ה3s — הבסיסים זהים, ולכן רק המעריכים זזים.

הצבה מחשבת ביטויים (כולל ערכים שליליים ושבריים); איסוף איברים דומים, הכפלת איבר יחיד סביב סוגריים, הוצאת גורמים משותפים (פירוק $x^2 + 10x + 24 = (x+6)(x+4)$) והרחבה של מכפלת שני ליניאריים ($(x+8)(x-5) = x^2 + 3x - 40$) הם ערכת הכלים הבסיסית. הרמה מאריכה הרחבה לשלושה סוגריים: $(x+2)(x+3)(x-1) = (x^2+5x+6)(x-1) = x^3 + 4x^2 + x - 6$ — להרחיק שני קודם, להכפיל אחר כך, ולבדוק עם $x = 0$ (איבר חופשי $-6$).

השתמש בנוסחאות ממתמטיקה ומקורות אחרים, המר כללים כתובים לסמלים, ו לגזור ביטויים ממצב נתון. שינוי נושא מפעילה את אותו פעולה על שני הצדדים עד שהאות הנבחר נשארת לבדה: מ$A = \pi r^2$, $r = \sqrt{A/\pi}$ (השורש החיובי — אורך); מ$v = u + at$, $t = \tfrac{v-u}{a}$.

מקרים מתקדמים מציבים את הנושא עמוק יותר בנוסחה. מ$V = \tfrac43 \pi r^3$: כפל ב3, חלוקה ב$4\pi$, ואז שורש קובי: $r = \sqrt[3]{\tfrac{3V}{4\pi}}$. מ $T = 2\pi\sqrt{l/g}$: רבע תחילה — $T^2 = \tfrac{4\pi^2 l}{g}$ — כך $l = \tfrac{gT^2}{4\pi^2}$. כאשר הנושא מופיע פעמיים, אסוף את האיברים שלו לפני פירוק לגורמים: $4a + 3 = 5(a - r)$ מתפתח ל$4a + 3 = 5a - 5r$, ולכן $a = 5r + 3$. בדוק כל שינוי סידור על ידי הצבת מספרים בשתי הגרסאות.

יחס (מתקדם): $y \propto x^n$ פירושו $y = kx^n$ עבור קבוע $k$; יחס הפוך $y \propto 1/x^n$ פירושו $y = k/x^n$. אם $y \propto x^3$ ו$y = 24$ כאשר $x = 2$, אזי $k = 3$, לכן $y = 3x^3$ ו$y = 81$ כאשר $x = 3$. גרפית, $y = kx$ זו קו העובר דרך ראשית הצירים; $y = k/x$ היפרבולה — האלגברה והגרף חייבים להסביר את אותו סיפור.

פתור משוואות ליניאריות עם המשתנה בצד אחד או בשני הצדדים, מקדמים שלמים או שבריים מקדמים — התנועות תמיד הן הרחבה, איסוף, חלוקה: $7(x+3) = 5x + 8$ נותנת $7x + 21 = 5x + 8$, ולכן $2x = -13$ ו$x = -6.5$; הצורה השברית $\tfrac45 x + 3 = \tfrac23$ כופל ב-15: $12x + 45 = 10$, ולכן $x = -\tfrac{35}{12}$. הניחו משוואות מהנתונים: שלושת הזוויות $a^\circ, (a+10)^\circ, (a+20)^\circ$ of a triangle sum to 180, so $3a + 30 = 180$ and $a = 50$. בדקו בהצבה, ושמרו על פתרונות הגיוניים להקשר (ספירה לא יכולה להיות שלילית או שברית).

שתי משוואות ליניאריות בו-זמניות נפתרות בדיוק באמצעות הכחדה או substitution: for $2x + 3y = 17$ and $3x - 5y = 35$, triple the first and double the second: $6x + 9y = 51$, $6x - 10y = 70$; subtracting gives $19y = -19$, so $y = -1$ and $x = 10$. בדוק במשוואה השנייה: $3(10) - 5(-1) = 35$. ✓ גרפית כל משוואה היא קו ישר והפתרון המשותף הוא נקודת החיתוך שלהם. זהו קו והפתרון המשותף הוא נקודת החיתוך שלהם.

*הפתרון הוא נקודת החיתוך: x = 7, y = 5 מקיימת שתי המשוואות

פירוק ל-$ax^2 + bx + c$; מתקדם מפעיל כל פירוק: $a \ne 0$ — בדקו מפרקת את $x^2 + bx + c$; גורמים גבוהים מפרקים כל אחד: $6x^2 - 5x - 6 = (3x+2)(2x-3)$ — בדוק על ידי הרחבה ($6x^2 - 9x + 4x - 6$ ✓). הפרש ריבועים: $4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3)$.

שברים אלגבריים: תחילה פירוק לגורמים, ולאחר מכן ביטול של גורמים שלמים, לעולם לא חלקים איברים. צמצם $\dfrac{x^2 + 3x - 10}{x^2 + x - 2} = \dfrac{(x+5)(x-2)}{(x+2)(x-1)}$ — לא ביטול כאן (אין גורם משותף); אך $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 5x + 6} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x+2)(x+3)} = \dfrac{x-2}{x+3}$. חיבור דורש מכנה משותף; חלוקה פירושה הכפלה בהופכי.

דוגמה מפורטת (2HR יוני 2024 שאלה26, מותאם). כתוב $4 - (3x-5) \div \dfrac{3x^2 + x - 10}{4x - 1}$ כשבר יחיד. קודם מפרקים את הריבועי: $3x^2 + x - 10 = (3x-5)(x+2)$. חלוקה בשבר הופכת אותו, וה- $(3x-5)$ מצטמצם:

הוכחות (רמה גבוהה) משתמשות באלגברה, לא בדוגמאות. עשרוני חוזר קלאסי: נניח $x = 0.306306\ldots$; אזי $1000x = 306.306\ldots$, ובניכוי, $999x = 306$, לכן $x = \tfrac{306}{999} = \tfrac{34}{111}$. ציין מה ש-$x$ שווה, כפול בכוח של עשר שמוזז בלוק מחזורי מלא אחד, נכה, פשוט (יוני 2024 2HR Q18).

השלמת ריבוע מקטיבה את $ax^2 + bx + c = a(x + b')^2 + c'$: חצי $x$-מקדם נותן את ההזזה, בתוך הסוגריים, עם סימן הפוך. קודקוד הקודקודית חושפת את המינימום (עבור $a > 0$) מיד: הגרף של $y = a(x+b')^2 + c'$ הוא $y = ax^2$ מוזז על ידי $(-b', c')$.

דוגמה עבודה (1HR יוני 2024 Q20, מותאם). (א) כתוב את $2x^2 - 11x + 9$ בצורת $a(x+b)^2 + c$: פקור את 2 מתוך האיברים $x$, חצי מ-$-\tfrac{11}{2}$ הוא $-\tfrac{11}{4}$, לכן

(ב) הגרף של $y = f(x - 3)$ מוזז $f$ שלושה יחידות ימינה, לכן המינימום עובר מ $\left(\tfrac{11}{4}, -\tfrac{49}{8}\right)$ to $\left(\tfrac{23}{4}, -\tfrac{49}{8}\right) = (5.75, -6.125)$. Inside the bracket acts on $x$, והדרך החוצה.

פתרון משוואות ריבועיות: על ידי פירוק ($x^2 + x - 30 = (x+6)(x-5) = 0$ נותן $x = -6$ או $5$); לפי נוסחת השורשים $x = \tfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ בעת פירוק לגורמים נכשל — עבור $2x^2 + 6x - 1 = 0$, $x = \tfrac{-6 \pm \sqrt{36+8}}{4} = \tfrac{-3 \pm \sqrt{11}}{2}$; או על ידי השלמה לריבוע מושלם, שפותר ומעניק את הראש בבת אחת. מנוסחים משוואות מההקשר (שטח, פיתגורס, סגנון ירייה $h = at^2 + bt + c$), לשמור על תשובות מדויקות אלא אם כן נאמר אחרת, לדחות שורשים שההקשר אוסר עליהם.

סימני אי-שוויון $<, >, \le, \ge$ (כולל צורות דו-צדדיות כמו $1 < x \le 5$) למתאר מרווחים; עיגולים פתוחים וסגורים על ציר המספרים מסמנים ערכים שנשלפו ונכללו נסיים. פתרון אי-שוויון ליניארי דומה לפתרון משוואות — מלבד כשכופרים או חילוק במספר שלילי הופך את הכיוון: $7 - x \le 5$ נותן $-x \le -2$, ולכן $x \ge 2$.

אי-שוויונים ריבועיים (רמה גבוהה) דורשים את ה-ערכים הקריטיים, ולאחר מכן את סימן הפרבולה ביניהם: אי-שוויון ריבועי חיובי נמצא מעל אפס מחוץ לשורשים שלו.

דוגמה מודגמת (2HR יוני 2024 שאלה 20, מותאם). פתרו $6x^2 - 7x - 20 > 0$. פייקו: $(3x + 4)(2x - 5) > 0$, ולכן הערכים הקריטיים הם $x = -\tfrac43$ ו$x = \tfrac52$. הפרבולה נפתחת כלפי מעלה — חיובית מחוץ לשורשים — ולכן $x < -\tfrac43$ או $x > \tfrac52$, מסומנים בקו המספרים בעיגולים פתוחים (הערכים עצמם נותנים $0$, לא $> 0$). יש לסרוט את הפרבולה תחילה; התמונה קובעת בתוך מול מחוץ.

זוגות ליניאריים-ריבועיים (רמה גבוהה): להציב את המשוואה הליניארית בתוך הריבועית. עבור $y = 2x - 11$ עם $x^2 + y^2 = 25$: $x^2 + (2x-11)^2 = 25$ נותן $5x^2 - 44x + 96 = 0$, and by formula $x = \tfrac{44 \pm \sqrt{1936 - 1920}}{10} = \tfrac{44 \pm 4}{10} = 4.8$ or $4$, giving $(4.8, -1.4)$ and $(4, -3)$; שניהם מקיימים את המשוואה של המעגל. עבור $y = 11x - 2$ עם $y = 5x^2$: $5x^2 - 11x + 2 = (5x - 1)(x - 2) = 0$, ולכן $\left(\tfrac15, 0.2\right)$ ו$(2, 20)$. שמור על שתי הפתרונות אלא אם ההקשר פוסל אחד מהם.

אזורים (F 2.8 D–E, מקרים קשים יותר Higher): ברשת קרטזית, כל אי-שוויון ליניירי אי-שוויון מגביל חצי מישור; יש לבדוק נקודה אחת לכל גבול (ראשית האקסונים נוחה, אלא אם היא נמצאת על גבול), ואז צלל את האזור המקיים את כל התנאים — לדוגמה, $x \ge 0$, $y \ge 1$, $x + y \le 5$ נותנים את הפנים של משולש עם קודקודים $(0,1)$, $(0,5)$, $(4,1)$.

• משתמשים בסמלים, חוקי מעריכים (שלמים, ולאחר מכן שבריים/שליליים/אפס — רמה גבוהה) ומשלבין מעריכים בבסיס אחד (F 2.1, H 2.1; יוני 2024 2HR Q7).
• הצב, סכום איברים, פתח סוגריים יחידים ודו-סוגריים — וב-Higher גם סוגריים תלת-סוגריים — מפקטור רכיבים משותפים ומשולשים (F 2.2, H 2.2 A–B).
• גזור, השתמש והברר נוסחאות, כולל מקרים של שינוי נושא פעמיים וחזקות; הציב ופתור פרופורציות ישירות/הפוכות (F 2.3, H 2.3, H 2.5).
• פתר משוואות ליניאריות מתוך נתונים וזוגות סימולטניים מדויקים באמצעות ביטול, ומפרש את הזוג כקווים הנחתמים (F 2.4, F/H 2.6).
• עבד בשברי אלגבריים: מפקטור, קצר, מכנים משותפים, הפך לחלוקה (H 2.2 C; יוני 2024 2HR Q26).
• בנה הוכחות אלגבריות, כולל ממירי חזרות חוזרות (H 2.2 E; יוני 2024 2HR Q18).
• השלם ריבוע, קרא את צורת הקודקוד, ופתור משוואות ריבועיות באמצעות פירוק, נוסחה או השלמת ריבוע — כולל מתוך ההקשר (H 2.2 D, H 2.7 A–C; יוני 2024 1HR שאלה20).
• פתר אי-שוויונות ליניאריים ומשולשיים עם קבוצות פתרונות בקו המספרים; זיהה אזורים מוגבלים מאי-שוויונות ליניאריים (F 2.8, H 2.8; יוני 2024 2HR Q20).
• פתר זוגות סימולטניים ליניאריים-משולשיים בהצבה, שמור על שתי הנקודות (H 2.7 D).

הערות לגבי הגבול: הדיסקרימיננטה ככלי מוגדר ותיאורמת הגורמים עוברות את 4MA1 רשימת הדרישות — הפתרון מתבצע על ידי פירוק לגורמים, נוסחה או השלמה לריבוע; שורש ריבועי רציונליזציה מופיעה ב-Higher (רציונליזציה של מכנים בסגנון $\tfrac{7}{4(2-\sqrt3)}$) על ידי כפל המונה והמכנה במרוכב, למשל כדי להגיע ל$\tfrac{14+7\sqrt3}{4}$). רמת בסיס מתאימה ל-2.1–2.4 ו-2.6–2.8 בלבד. הדוגמאות הפתרות לעיל הותאמו מתוך בדיקה ביוני 2024 רמת גבוהה (ראו את עדות ההערכה של המטא); שאלות בדפי מקוריות אלא אם כן סימן אחר.