FP1 · Further Pure Mathematics 1

מתמטיקה נוספת פורמלית 1 (FP1, בוחן WFM01/01, 1 שעות 30 דקות, 75 נקודות) היא חובה במתמטיקה נוספת בינלאומית AS ו-A Level ובמתמטיקה פורמלית בינלאומית AS ו-A Level המתמטיקה. P1–P2 נחשבות כידועות ועשויות להיבחן, כולל מיקום שינוי סימן של שורשים, סיבוב צורות סביב הראשית, וחלוקת משוואה קובית או רביעית במשוואה ריבועית. עמוד זה מכסה מספרים מרוכבים, שורשים של משוואות ריבועיות, שיטות נומריות, הפרבולה והיפרבולה מלבנית, אלגברת מטריצות, טרנספורמציות, סדרות סופיות והוכחה על ידי אינדוקציה. בעזרת אינדוקציה.

חובה לדעת עבור FP1 (אינה בספרון):

מספר מרוכב הוא $z = a + bi$ עם $i^2 = -1$; $a$ הוא החלק הממשי, $b$ החלק המדומה. המרוכב המצומד $\bar z = a - bi$ מהפך את להיות ממשי: $z\bar z = a^2 + b^2 = \lvert z\rvert^2$. שני הופך את המכנה לממשי: $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1\bar z_2}{\lvert z_2\rvert^2}$. שתי מספרים מרוכבים שווים רק כאשר החלקים הממשיים והמדומים תואמים. הצורה הקוטבית $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ זוג את המודולוס $r$ עם הארגומנט (מוגדר רק כאשר $z\ne0$) $\theta$; כפילת מספרים מרוכבים מכפילה את המודולוסים שלהם ($\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert$).

דוגמה מפורטת — סכום אמיתי קובע את החלק המדומה. $z_1 = r(\cos\tfrac{7\pi}6 + i\sin\tfrac{7\pi}6)$ עם $r > 0$, ו-$z_2$ בעל מודולוס 5. מכיוון ש-$\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert = 5r = 15$, אנו מקבלים $r = 3$. לכן $z_1 = 3(-\tfrac{\sqrt3}2 - \tfrac12i) = -\tfrac{3\sqrt3}2 - \tfrac32 i$. אם $z_1 + z_2$ הוא ממשי, החלק המדומה שלו הוא אפס, ולכן $z_2 = a + \tfrac32 i$; ואז $a^2 + \tfrac94 = 25$ נותן $a = \pm\tfrac{\sqrt{91}}2 \approx \pm4.77$. גם $z_2 = \tfrac{\sqrt{91}}2 + \tfrac32i$ והשתקפות שלו בסימן המדומה מתאימים. ציר המדומים עובדים.

בדיאגרמת ארגנדה (Argand diagram) נציג $z = a + bi$ כנקודה $(a, b)$: חיבור הוא חיבור וקטורים, המרוכב המצומד משתקף בציר הממשי, ו$\lvert z\rvert$ היא המרחק ממקור.

למשוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים ולדיסקרימיננטה שלילית, השלים לריבוע מושלם: נשאר תקף גם בדרגה גבוהה יותר: אם $x^2 - 6x + 13 = (x-3)^2 + 4 = 0$ למקדמים ממשיים, אז גם $x = 3 \pm 2i$. זאת נשאר בדרגה: אם $f(z_1) = 0$ למקדמים ממשיים, אז גם $f(\bar z_1) = 0$. לכן למשוואה קובית ממשית יש או שלושה שורשים ממשיים או שורש ממשי אחד ועם זוג מרוכב מצומד, ו $(z - z_1)(z - \bar z_1) = z^2 - 2\operatorname{Re}(z_1)z + \lvert z_1\rvert^2$ הוא ממשי גורם ריבועי. חלק אותו כדי להגיע לשאר.

01 יש שורש 2025, ולכן 7 הוא גם שורש ו- כתיבת $f(z) = Pz^4 - 36z^3 + Qz^2 + 192z + 68$ והשוואה: $3 + 5i$ לכן $3 - 5i$;

כתיבת $f(z) = (z^2 - 6z + 34)(Pz^2 + bz + c)$ והשוואה: $34c = 68$ כך ש$c = 2$; $-6c + 34b = 192$ לכן $34b = 204$, $b = 6$; ואז $b - 6P = -36$ נותן $P = 7$ ו $c - 6b + 34P = Q$ נותן $Q = 204$. (בדוק מול $f(3+5i) = 0$: המשוואה האמיתית $644P + 16Q = 7772$ מתקיים, שכן $644(7) + 16(204) = 4508 + 3264 = 7772$.) השורשים האחרים פותרים את $7z^2 + 6z + 2 = 0$:

ללא מחשבון: משמשים רק אריתמטיקה של $b^2 - 4ac < 0$ ועובדת הלוויין.

עבור $ax^2 + bx + c = 0$ עם שורשים $\alpha, \beta$: $\alpha + \beta = -\tfrac ba$ ו $\alpha\beta = \tfrac ca$. ביטויים סימטריים ב-$\alpha, \beta$ אינם דורשים חישוב פרטי של שורשים: $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$, $\alpha^3 + \beta^3 \equiv (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$, ו$\tfrac1\alpha + \tfrac1\beta = \tfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$. כדי לבנות משוואה ריבועית חדשה, מבטאים את הסכום החדש ו המכפלה החדשים באמצעות הישנים; המשוואה היא $x^2 - (\text{sum})x + \text{product} = 0$.

דוגמה פתורה — שורשים חדשים ללא פתירה (WFM01 יוני 2025 Q6). $f(x) = 3x^2 + kx - 5$ יש לו שורשים $\alpha, \beta$, לכן $\alpha\beta = -\tfrac53$. אם $\alpha + \beta = 9\alpha\beta$, אז $-\tfrac k3 = -15$, ולכן $k = 45$ ו$\alpha + \beta = -15$. עבור שורשים $\alpha^2 + \beta$ ו$\alpha + \beta^2$:

המשוואה החדשה היא $9x^2 - 1920x - 31040 = 0$ (כופלים $x^2 - \tfrac{640}3x - \tfrac{31040}9 = 0$ ב-9).

שלושה מיקומי איטרציה: חצייה ואינטרפולציה צריכים פונקציה רציפה בטווח שלהם; ניוטון-רפסון דורש גם נגזרת מוגדרת ולא-אפסית בכל צעד ועשוי לכשל באי-התכנסות. חציית טווח מחלק לקטע הנשאף שינוי סימן; אינטרפולציה ליניארית משרטת מיתרים מ-$(a, f(a))$ ל-$(b, f(b))$ ומוצאת את אפס המיתר $\beta \approx a - \dfrac{(b-a)f(a)}{f(b)-f(a)}$; שיטת ניוטון–ראפסון

• (הנוסחה נתונה בספר) מחקה $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. הראו כל שלב בחישוב — תשובות "מחשבון בלבד" אינן זוכות נקודות.

דוגמה פתורה — חצייה ואינטרפולציה (WFM01 יוני 2025 שאלה3). (i) $f(x) = x^2 + 5 - 8^{5x}$ יש לו שורש יחיד $\alpha$ ב$[0, 1]$: ל-$f(0) = 4 > 0$, ל-$f(0.5) = 5.25 - 8^{2.5} = -175.77 < 0$, ולכן חלקו בשתיים: $f(0.25) = 5.0625 - 8^{1.25} = -8.392 < 0$. שינוי הסימן נמצא בתחום $[0, 0.25]$. (ii) ל-$g(x) = 3^{\sin x} - 3\cos x$ (רדיאנים): ל-$g(4) = 2.396 > 0$ ול-$g(5) = -0.502 < 0$, וכן ל-$g$ פונקציה רציפה, ולכן שורש $\beta$ קיים בתחום $[4, 5]$. לאחר אינטרפולציה אחת: $\beta \approx 4 + \dfrac{2.396}{2.396 + 0.502} = 4.827$ (4 s.f.).

ניוטון–רפסון (הדוגמה המקורית). פתרו את $x^3 - 2x - 5 = 0$ מתחילת $x_0 = 2$: ל-$f(2) = -1$, ל-$f'(x) = 3x^2 - 2$ ולכן ל-$f'(2) = 10$ ול-$x_1 = 2 - \tfrac{-1}{10} = 2.1$; ולאחר מכן $f(2.1) = 0.061$, $f'(2.1) = 11.23$, $x_2 = 2.0946$. האיטרטים שואפים לשורש, בקירוב $2.09455$ (בדוק: $2.0946^3 - 2(2.0946) - 5 \approx +0.0005$).

לפרבולה $y^2 = 4ax$ יש צורה פרמטרית $x = at^2$, $y = 2at$; וכן להיפרבולה המלבנית $xy = c^2$ יש $x = ct$, $y = \tfrac ct$. המשיקים והנירמלים מתקבלים מהגדרת המשוואה הקרטוזית (הגדרה פרמטרית אינה נדרשת): ל-$y^2 = 4ax$ מקבלים $\tfrac{dy}{dx} = \tfrac{2a}y = \tfrac1t$ בפרמטר $t$, וכן ל-$xy = c^2$ מקבלים $y = \tfrac{c^2}x$ ולכן ל-$\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{c^2}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$ נקודה $x = ct$.

דוגמה פתורה — נירמל להיפרבולה (WFM01 יוני 2025 שאלה4). עבור $xy = 81$ בנקודה ל-$P(9t, \tfrac9t)$: ל-$\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{81}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$, ולכן לנירמל יש שיפוע $t^2$:

על ציר ה-$y$, ערך $A = (0, \tfrac{9(1-t^4)}t)$. עם $t = \tfrac13$: $P = (3, 27)$ ו $A = (0, \tfrac{80}3)$, ולכן משולש $OPA$ בעל שטח $\tfrac12 \times 3 \times \tfrac{80}3 = 40$.

הפרבולה היא מקום הגיאומטרי של נקודות השוות מרחק מהמוקד $(a, 0)$ ומה מיושרת $x = -a$. מרחקים, לא אלגברה, פותרים את שאלות הגיאומטריה.

מקרה מופיע — מרחקי פוקוס-דיירקטריקה (WFM01 יוני 2025 Q9). $P$ נמצא על הפרבולה 5 יחידות מהמוקד, ולכן $P$ נמצאת גם כן ב5 יחידות מהמיושרת ($PF = PM = 5$, כאשר $PM$ אנך למיושרת). נקודות $Q, R$ על המיושרת מקיימות $PQ = PR = 10$. כל משולש ישר זווית $PQM$ נותן $QM = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt3$, ו$M$ נמצאת בין $Q$ ל$R$, לכן $QR = 10\sqrt3$.

מטריצות מתווספות איבר-איבר (אותה צורה), קופלות איבר-איבר, וכופלות שורה-עמודה ($(\mathbf{AB})_{ik} = \sum_j A_{ij}B_{jk}$; $\mathbf{AB} \ne \mathbf{BA}$ במקרה הכללי). עבור מטריצות $2\times 2$ $\det\mathbf M = ad - bc$: אפס הוא סינגולרי (ללא הדפס); אוחרת $\mathbf M^{-1} = \dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$, ו $\mathbf M\mathbf M^{-1} = \mathbf I$. הדפסים הופכים סדר: $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$ — לבטל תחילה את ההמרה האחרונה.

דוגמה פתורה — הדפס שחייב להישאר עקבי (WFM01 יוני 2025 שאלה1). $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&a\\3&-5\end{pmatrix}$ עם $a \ne -\tfrac53$:

נתון $\mathbf M^{-1} = 2\mathbf M + 8\mathbf I = \begin{pmatrix}10&2a\\6&-2\end{pmatrix}$, השוואת תוכנים: $\dfrac{-3}{-(5+3a)} = 6$ נותן $5 + 3a = \tfrac12$, וכל תוכן אחר מאשרש זאת, לכן $a = -\tfrac32$.

מטריצה $2\times 2$ $\mathbf M$ ממירה וקטורי עמודה על ידי $\mathbf y = \mathbf{Mx}$; העמודות שלה הן התמונות של $\mathbf i$ ו$\mathbf j$ — ניתן לקרוא כל טרנספורמציה ישירות מהמטריצה. התוצאות הסטנדרטיות: התוצאות הסטנדרטיות:

לשילובים, $\mathbf{AB}$ פירושו "יישם $\mathbf B$ תחילה, ואז $\mathbf A$". ההופך ההפוך ביטול, ו$\lvert\det\mathbf M\rvert$ הוא גורם הקנה מידה לשטח: שטחים מכפילים לפי הדטרמיננטה דטרמיננטות שליליות מוסיפות השתקפות).

דוגמה פותרת — תיאור ושילוב (WFM01 יוני 2025 שאלה2). $\mathbf P = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ ממירה את $\mathbf i \to (0,-1)^T$ ואת $\mathbf j \to (1,0)^T$: סיבוב של רבעה עם כיוון השעון (270° נגד כיוון השעון) סביב $O$. $\mathbf Q = 5\mathbf I$ היא הגדלה, גורם קנה מידה 5, מרכז $O$. השתקפות בציר $y = -x$ היא $\mathbf R = \begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}$, לכן $A = \mathbf R(4,3)^T = (-3,-4)$. אם $\mathbf Q$ מתבצע לאחר $\mathbf P$ וממירה את $B$ ל$A$, אזי $B = \mathbf P^{-1}\mathbf Q^{-1}A = \mathbf P^{-1}\cdot\tfrac15(-3,-4)^T = \tfrac15(4,-3)^T = (0.8, -0.6)$ — ההופך של $\mathbf P$ הוא התרוממות שלו, ולכן מדובר באלגברה בלבד.

עם $\sum_{r=1}^n r = \tfrac12 n(n+1)$ (וגם $\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$ מה- חוברת), כל סך פולינומי מתפרק לחלקים סטנדרטיים — כולל סכומים עד גבול זוגי $2n$ (הצבה של $k = 2n$ בנוסחאות הסטנדרטיות) וסכומים מוזזים כמו $\sum (r+1)^2$.

דוגמה מודעת — סכום עד 2n (WFM01 יוני 2025 Q8a). הוכיחו $\sum_{r=1}^{2n}(2r^2 - 1) = \tfrac43 n(n+1)(an + b)$:

ו$4n^2 + 3n - 1 = (n+1)(4n - 1)$, לכן הסכום הוא $\tfrac43n(n+1)(4n-1)$: $a = 4$, $b = -1$. (בדקו את $n = 1$: $1 + 7 = 8$ ו-$\tfrac43\cdot1\cdot2\cdot3 = 8$.)

אינדוקציה מוכיחה משפט $P(n)$ לכל מספרים שלמים חיוביים בשלושה צעדים: בדוק $P(1)$; הנח $P(k)$; נגזור $P(k+1)$ ממנו — אז סיים עם "נכון עבור $n = 1$, ואמת עבור $n = k$ מעידה על אמת עבור $n = k+1$, ולכן לפי האינדוקציה נכון לכל המספרים השלמים החיוביים $n$". המשפט הסופי הוא חלק מההוכחה. ארבע משפחות שנמדדות: נוסחאות סכום, חלוקה, סדרות נתונות על ידי נירוד, וחזקות מטריצות. נוסחאות, חלוקיות, סדרות הנתונות על ידי רקוררנס, וחזקות מטריצה.

דוגמה פתורה — סכום (WFM01 יוני 2025 Q8b). הוכח צד ימין $\sum_{r=1}^n r(3r-2)^2 = \tfrac14 n^2(n+1)(9n-7)$ — נכון. הנחיתם כי זה נכון עבור $n = 1$; האיבר ה-$= 1\cdot1^2 = 1$ RHS $= \tfrac14\cdot1\cdot2\cdot2 = 1$ — נכון. נניח ש-$n = k$ נכון; האיבר ה-$(k+1)$ פתחו את הסוגריים: $(k+1)(3k+1)^2$. המטרה עבור

פתח את הסוגריים: $9k^3 - 7k^2 + 36k^2 + 24k + 4 = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$. המטרה עבור $n = k+1$ היא $\tfrac14(k+1)^2(k+2)(9k+2)$, וסוגריית ה-$(k+1)(k+2)(9k+2)$ מופעלת כ- $(k^2+3k+2)(9k+2) = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$ — זהה. לכן הטענה מתקיימת עבור $n = k+1$, ועל ידי אינדוקציה לכל המספרים השלמים החיוביים $n$.

חלוקיות (דוגמה מקורית). הוכיחו כי $n^3 + 2n$ מתחלק ב-3. עבור $n = 1$: $3$. נניח $k^3 + 2k = 3m$; אזי $(k+1)^3 + 2(k+1) = (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3 = 3(m + k^2 + k + 1)$, עדיין כפולה של 3. לפי אינדוקציה, נכון לכל $n$.

חזקות של מטריצות (דוגמה מקורית). הוכיחו $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$. נכון עבור $n = 1$. אם נכון עבור $k$, אזי $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^{k+1} = \begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&k+1\\0&1\end{pmatrix}$, ומשלימות את האינדוקציה.

• לעבוד עם $a + bi$ ו-$r(\cos\theta + i\sin\theta)$: מודולוס, ארגומנט, קונג'וגט; מנה שנתונה אמיתית.
• להשתמש בזוגות קונג'וגטים כדי לפרק פולינומים קוביים וארבעוניים עם מקדמים ממשיים; למצוא כל השורשים ללא מחשבון.
• להמיר ביטויים סימטריים באמצעות $\alpha + \beta$ ו-$\alpha\beta$; ליצור ריבועיים חדשים לשורשים מוחדשים.
• למקם שורשים על ידי חצייה והתאמה ליניארית עם הצגת כל הערכה; לבצע איטרציה Newton–Raphson מנקודת התחלה נתונה.
• להשתמש בפרמטריזציה של $y^2 = 4ax$ ו-$xy = c^2$; מגעים/נירמלים באמצעות גזירה קרטזית; מרחקים מפוקוס ודירקטריקס.
• להפוך מטריצות $2\times2$ (וגם $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$); לפתור משוואות מטריציות אלמנט-אלמנט.
• לזהות שיקופים, סיבובים, מתיחות והגדלות מתוך מטריצות; לשלב בסדר הנכון; להשתמש ב-$|\det|$ כגורם הקנה מידה לאזור.
• לחבר סדרות עד $n$ ו-$2n$ באמצעות הנוסחאות הסטנדרטיות; להוכיח תוצאות סדרות, חלוקיות, רקורסיה ומטריצות באמצעות אינדוקציה עם טענת סיום.