S3 · Statistics 3

סטטיסטיקה 3 (S3, מסמך WST03/01, 1 שעה 30 דקות, 75 נקודות, הערכה ראשונה יוני 2020) היא היחידה האחרונה בסטטיסטיקה: S1–S2 נחשבות לידועות. החוברת מכילה טבלאות נורמליות ו טבלאות קאי-ריבוע plus Spearman critical values. מדריך זה מכסה שילובים של משתנים נורמליים, שיטות דגימה, מעריכים והתפלגות ממוצע הדגימה,区间ות סמך ובדיקות היפותזות לממוצעים (דגימה אחת ושתי דגימות), התאמת הטובה ו טבלאות תלות, וקורלציה דרגות עם המבחן שלה

חובה לדעת עבור S3 (אינה נכללת בספר):

משתנים נורמליים בלתי תלויים משתלבים לתנודת נורמלית: מחברים את הממוצעים, מחברים את הריבועים של המקדמים ופועלים על השונות. עבור $3S$ כאשר $S \sim N(18, 0.03^2)$: $3S \sim N(54, 9 \times 0.0009)$ — הממוצע מכפיל בשלושה אך השונות מכפילה בתשע. הפעולה בחיסור עושה כך: $C_1 - C_2 \sim N(0, 2\sigma^2)$, ו$P(|C_1 - C_2| > c)$ הוא פי שניים מהכנף החד-צדדית הסיכון באמצעות סימטריה.

דוגמה פותרת (WST03 יוני 2025 שאלה8). $S \sim N(18, 0.03^2)$, $C \sim N(25, 0.03^2)$, $P \sim N(15, 0.2^2)$ בלתי תלויים (ק"ג). (א) $S_1+S_2+S_3 \sim N(54, 0.0027)$ (sd 0.05196): $P(>54.1) = 1 - \Phi(1.924) = 0.0274$. (ב) $C_1 - C_2 \sim N(0, 0.0018)$: $P(|C_1-C_2| > 0.02) = 2(1 - \Phi(0.4714)) = 2 \times 0.3192 = 0.638$. (ג) כאשר $T = \sum_1^{28} S_i + \sum_1^5 C_i + P_1$, האירוע $T < 30P_1 + 190$ מתערוך מחדש ל- $\sum S_i + \sum C_i - 29P_1 < 190$ — חלוקה נורמלית עם ממוצע $504 + 125 - 435 = 194$ ו- שונות $28(0.0009) + 5(0.0009) + 29^2(0.04) = 33.6697$, ולכן $P = \Phi\left(\tfrac{190-194}{5.803}\right) = 1 - 0.7549 = 0.245$.

דגימה אקראית פשוטה מעניקה לכל חבר (ולכל דגימה בגודל $n$) סיכוי שווה; השתמש במספרים אקראיים על מסגרת הדגימה. דגימה שיטתית לוקחת כל חבר ב-$x$ מההתחלה האקראית — עבור 20 מתוך 360, $x = 18$; היא עובדת היטב ברשימות מסודרות ומסירה ביassed בחירה, אך חברים באותו קטע לא יכולים לעולם להופיע יחד (הרווחים נעולים). דגימה שכבתית מחלקת לפי שכבות ודוגמת כל אחת פרופורציונלית — הטובה ביותר כאשר הקבוצות שונות זו מזו בפנים. דגימת עומדה ממלאה עומדות שנקבעו על ידי המראיין ללא מסגרת — זולה אך רגישה לביassed בחירה של המראיין. הכר את יתרון אחד ואת חוסר היתרון של כל אחת.

סטטיסטיקה אינה מכילה פרמטרים אוכלוסייה בלתי ידועים. מעריך הוא בלתי-ביassed אם צפוי שלו שווה לפרמטר; הביassed שלו הוא הפער: $\bar X$ עבור $\mu$, $s^2 = \dfrac{\sum x_i^2 - n\bar x^2}{n-1}$ עבור $\sigma^2$ (ה-$n-1$ הוא התיקון). הביassed הוא $\mathrm{E}(\hat\theta) - \theta$ בכיוון ובגודל. ממוצע הדגימה מקיים $\bar X \sim N\left(\mu, \tfrac{\sigma^2}n\right)$: דגימות גדולות יותר מצמצמות את שגיאת הסטנדרט $\sigma/\sqrt n$.

דוגמה מפורשת (WST03 יוני 2025 שאלה6). $R = \tfrac12X_1 + \tfrac34X_{20}$: $\mathrm{E}(R) = (\tfrac12 + \tfrac34)\mu = \tfrac54\mu \ne \mu$, ולכן $R$ הוא ביassed עם הטיה $\tfrac\mu4$. נתון $S = \tfrac{aX_1 - bX_2}2$ ו $T = \tfrac{a\sum_1^{14}X_i + b\sum_{15}^{20}X_i}{20}$ שניהם ללא הטיה: הערכים הצפויים של הכוח $a - b = 2$ ו-$14a + 6b = 20$, ולכן $a = 1.6$, $b = -0.4$.

דוגמה פתורה — שחזור פרמטרים (WST03 יוני 2025 שאלה 7). נתון $P(\bar X_n < 45.2) = 0.3446$ ו-$P(\bar X_n > 75.2) = 0.0179$: ערכי z הם $-0.4$ and $2.1$, so $\mu - 0.4\tfrac\sigma{\sqrt n} = 45.2$ and $\mu + 2.1\tfrac\sigma{\sqrt n} = 75.2$. Subtracting: $2.5\tfrac\sigma{\sqrt n} = 30$, giving $\sigma = 12\sqrt n$ (SE 12) ו-$\mu = 45.2 + 4.8 = 50$; ולאחר מכן $P(\bar X_n > 59) = 1 - \Phi(0.75) = 0.2266$.

מרווח אמון עבור $\mu$ (שונות ידועה) הוא $\bar x \pm z\tfrac{\sigma}{\sqrt n}$ עם $z = 1.96$ (95%), $1.6449$ (אחד-צדדי 95% קריטי), $2.5758$ (99%). פרשנות: ההליך תופס את $\mu$ ב-95% מהדגימות — ולא "הסיכוי ש-μ נמצא בתוך הוא 0.95". סטטיסטי הבדיקה $z = \dfrac{\bar x - \mu}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0, 1)$; כאשר השונות אינה ידועה והגודל $n$ גדול, מחליפים ב-$s$ (המשפט הגבולי המרכזי מאפשר גם אוכלוסיות לא נורמליות כאשר $n$ גדול). מסקנות מציגות את העדויות בהקשר.

דוגמה פתורה — שתי דגימות עם פער (WST03 יוני 2025 שאלה 4). ארנבות אפורות ($n = 80$, $\bar x = 500$, $s_x^2 = 1156$) ואדומות ($n = 80$; $\sum y = 23200$, $\sum y^2 = 6741351$, giving $\bar y = 290$ and $s_y^2 = \tfrac{6741351 - 80(290)^2}{79} = 169$). Test $\text{H}_0\colon \mu_x - \mu_y = 200$ against $> 200$ ברמת 5%:

לכן דוחים את H₀ — הממוצע האפור גבוה ביותר מ-200 גרם מהאדום. הנחת החלפת השונות ($\sigma^2 = s^2$ לכל אוכלוסייה) היא שמקנה תוקף לנוסחה.

התאמה משווה ספירות נצפות עם אלו הצפויות בדגם: $X^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}$. דרגות חופש = (תאים − 1) − (פרמטרים שוערכו מתוך הנתונים): בינומי עם p̂ שנערך מאבד עוד אחת. יש למזג תאי זנב whose תדירות צפויה קטנה מ-5 לפני כל פעולה אחרת. טבלאות תלות בודקות קשר בין שתי סיווגים עם $E = \frac{\text{row} \times \text{column}}{\text{total}}$ ו $\mathrm{df} = (r-1)(c-1)$.

דוגמה פתורה — התאמה בינומית (WST03 יוני 2025 Q5). זכרים ב-250 מיניקות של 5 ($O = 2, 40, 90, 85, 30, 3$): $\hat p = \tfrac{610}{1250} = 0.488$, מה שמניב צפוי $8.80, 41.92, 79.91, 76.16, 36.30, 6.92$, ולכן עם ה-$r$ הנתון עבור שאר הקלאסים, $\tfrac{(2-8.796)^2}{8.796} = 5.25$, ולכן עם ה$\sum = 5.70$ הנתון לשאר, $X^2 = 10.95$ ב-דרגות החירות $6 - 1 - 1 = 4$; ערך הקריטי 5% 9.488 עובר גבול — דוחים: שמודל הבינומי אינו מתאים.

דוגמה מוצעת — קשר (WST03 יוני 2025 שאלה3). סוג מנוע × בעיה ראשונה timing (250 cars, 3×3): the diesel/month 1–6 cell has $E = \tfrac{35\times36}{250} = 5.04$ and contributes $\tfrac{(10-5.04)^2}{5.04} = 4.88$; עם 7.444 לשאר שמונה התאים תאים, $X^2 = 12.325 > 9.488$ ב4 דרגות חירות — עדות לקשר בין סוג המנוע ובזמן התחלת הבעיות.

מקדם הקורלציה של ספירמן מדד הסכמה מונוטונית בין שתי דרגות; בדקו $\text{H}_0\colon\rho = 0$ נגד הטבלה והסיקו ב מילים על הדרגות.

מקדם מתאם ריכוז דרגות של ספירמן $r_s = 1 - \tfrac{6\sum d^2}{n(n^2-1)}$ מדד את ההסכמה המונוטונית בין שתי דרגות (לא נבדקו שוויונות). בדקו $\text{H}_0\colon \rho = 0$ נגד חלופיות חד-צדיות או דו-צדיות בעזרת טבלת הערכים הקריטיים; הסיקו בהקשר ("הוכחה לא מספקת להסכמה חיובית בין השופטים"). ראיות להסכמה חיובית בין השופטים).

דוגמה פותרת (WST03 יוני 2025 שאלה2). שני שופטים מדרגים 10 הופעות: הדרגות ההבדלים נותנות $\sum d^2 = 66$, ולכן $r_s = 1 - \tfrac{6(66)}{990} = 0.6$. ברמת 1% חד-צדדית הערך הקריטי הוא 0.7455: $0.6 < 0.7455$, ולכן אין לדחות את H₀ — אין מספיק ראיות לקורלציה חיובית בין הדירוגים של השופטים.

• לשלב נורמליים בלתי תלויים (מקדמים רבועים ונסיגות); לטפל בהבדלים ו-|הבדלים| באמצעות סימטריה.
• להשתמש ב-SSE σ/√n; לשחזר (μ, σ) משתי probabilitys של ממוצע דגימה; לחשב probabilitys עבור X̄.
• לבנות ולפרש区间י אמון מבוססי z; לבצע בדיקות דוגמה אחת ושתיים עם החלפת שונות וניסוח CLT.
• להשתמש ב-SE σ/√n; לשחזר (μ, σ) משתי סבירות ממוצע דגימה; לחשב סבירות עבור X̄.
• לחשב את Spearman's rₛ מדרגות ולבדוק נגד הטבלה עם הצגת הנחות בסמלים והסקה במילים.
• לחשב תדירויות מצופות (מודל או טבלת עומד-שורה), לשלב תאים נמוכים, לחסום פרמטרים מוערכים מה-df, ולהשוות עם טבלת χ².
• לחשב את rₛ של ספירמן מהדרגות ולבדוק מול הטבלה כשההיפותזות מוגדרות בסמלים והמסקנה במילים.