מכניקה 3: חוטים אלסטיים, תנודות הרמוניות פשוטות, מעגלים ומרכזי מסה
מכניקה 3 (M3, מסמך WME03/01, 1 שעה 30 דקות, 75 נקודות, הערכת ראשונה יוני 2020) זהו יחידת המכניקה הסופית: P1–P4, M1 ו-M2 מוגדרים. כל הבחינה פועלת סמלית — התשובות נשארות ב-$m$, $g$, $a$, $L$, $r$, והאלגברה המדויקת היא הניקוד. המסמך הזה מכסה תאוצה כפונקציה של $x$, חוטים אלסטיים וקפיצים, כוחות משתנים ותנועה הרמונית פשוטה, תנועה מעגלית אופקית ואנכית, וכן מרכזי מסה באמצעות אינטגרציה.
חובה לדעת עבור M3 (לא קיים בחוברת):
| משפחה | נוסחות |
|---|---|
| חוק הוק | מתח $T = \dfrac{\lambda e}{L}$ ($\lambda$ מודולוס, $e$ הארכה, $L$ אורך טבעי) |
| אנרגיה אלסטית | $E = \dfrac{\lambda e^2}{2L}$ |
| TSH | $\ddot x = -\omega^2 x$, תקופה $\tfrac{2\pi}\omega$, $v^2 = \omega^2(a^2 - x^2)$ |
| מעגלים | $a = r\omega^2 = \tfrac{v^2}r$ לכיוון המרכז; $v = r\omega$ |
| COM | $\bar x = \dfrac{\int x\,y^2\,dx}{\int y^2\,dx}$ לגוף סיבוב סביב $x$ |
| קינמטיקה | $a = v\dfrac{dv}{dx}$ כאשר $a = f(x)$ |
קינמטיקה עם תאוצה כפונקציה של x
כשהתאוצה תלויה בהזחה, החלף את $\tfrac{dv}{dt}$ ב- $v\dfrac{dv}{dx}$ ואינטגרל לפי $x$; כשהיא תלויה בזמן, הפרד את $\tfrac{dx}{dt}$. תנאי ההתחלה סוגרים כל קבוע — ציין אותו לפני ההצבה.
דוגמה עבודה (WME03 יוני 2025 שאלה3). עם $a = 4x - 2$ וב-$t = 1$, $x = 0$, $v = 1$: (א') $v\tfrac{dv}{dx} = 4x - 2$ נותן $\tfrac12v^2 = 2x^2 - 2x + \tfrac12$, ולכן $v^2 = (2x-1)^2$ וכיוון חיובי $v = 1 - 2x$. (ב') הצבת $v = 1 - 2x$ בתוך $a = \tfrac{dv}{dt}$ נותן $\tfrac{dv}{dt} = -2v$ (או בנפרד $\tfrac{dx}{dt} = 1 - 2x$): $\ln v = -2t + C$ עם $v(1) = 1$ נותן $v = e^{2-2t}$.
חוטים אלסטיים וקפיצים
חוק הוק: חוט אלסטי קל (או קפיץ) בעל אורך טבעי $L$ ו מודול האלסטיות $\lambda$ שנמתח על ידי $e$ מפעיל את המתח $T = \tfrac{\lambda e}{L}$ — מתח מושך פנימה בשני הקצוות. האנרגיה האלסטית האגורה היא $\tfrac{\lambda e^2}{2L}$. עקרון העבודה-אנרגיה כעת כולל שלושה מאגרי אנרגיה: קינטית, כבידתית ואלסטית, בנוסף לכל עבודה שנעשתה נגד התנגדות.
דוגמה פתורה — נקודת אמצע בחוט דו-חלקי (WME03 June 2025 Q4). חוט עם $\lambda = mg$, אורך טבעי $3a$, קבוע בין A ל-B ($AB = 4a$ אופקי); P תלוי מהאמצע, מקרן כלפי מטה מנקודה C (אמצע AB) ב-$\sqrt{3ag/2}$, ו ב-C האורך החלקי הוא $CD = \tfrac32a$ (התארכות $\tfrac{3a}2$); ב-D הוא $2a$ (התארכות $\tfrac a2$). עליית אנרגיה אלסטית לכל חצי: $\sqrt{(2a)^2 + (\tfrac32a)^2} = \tfrac{5a}2$; לשני החצאים: $a$ ✓. לאחר מכן עם התנגדות חצי: $\dfrac{mg}{2\cdot\frac{3a}2}\big(a^2 - \tfrac{a^2}4\big) = \dfrac{mg}{3a}\cdot\tfrac{3a^2}4 = \tfrac{mga}4$; שני החציים: $\tfrac12mga$ ✓. לאחר מכן עם התנגדות $\tfrac15mg$ על פני $\tfrac{3a}2$ והאיבוד באנרגיה כבדית $mg\cdot\tfrac{3a}2$:
ולכן $V = \sqrt{29ag/10}$.
דוגמה מודגשת — מוט צמוד (WME03 יוני 2025 שאלה1). מוט אחיד AB (מסה $m$, אורך $2a$) צמוד ב-A; חוט אלסטי ($\lambda = 2mg$, אורך טבעי $L$) עובר אנכית מ-B ל-C, כאשר AC אופקי ו-BC $= 1.2a$ — הגיאומטריה מציבה את B ב $1.6a$ אופקית מ-A ו-$1.2a$ מתחתיה (משולש 3–4–5), ולכן אמצע המוט נמצא ב-$0.8a$ מהאנך העובר דרך A. מומנטים סביב A: $T\cdot 1.6a = mg\cdot 0.8a$, ולכן $T = \tfrac12mg$; מכאן חוק הוק נותן $\tfrac12mg = \tfrac{2mg}{L}(1.2a - L)$, כלומר, $L = 0.96a = \tfrac{24}{25}a$.
כוחות משתנים ותנועה הרמונית פשוטה
עם כוח משתנה $F(x)$ בממד אחד: $m\dfrac{dv}{dt} = F$ הופך ל $mv\dfrac{dv}{dx} = F(x)$; כבידה בהתאמה הפוכה למרובע מופיעה כ-$F = \dfrac{k}{x^2}$. תנועה הרמונית פשוטה (SHM) משמעותה $\ddot x = -\omega^2x$ — הסימן הוא ההוכחה. Standard results (quotable): period $\tfrac{2\pi}{\omega}$, $v^2 = \omega^2(a^2 - x^2)$, $x = a\cos\omega t$ מקצה, $a\sin\omega t$ מהמרכז. חלקיק בין שני חוטים אלסטיים רועד בתנועה הרמונית פשוטה כל עוד הכוח הנטו פרופורציונלי להזזה מנקודת האיזון.
דוגמה פותרת — SHM בין שני חוטים (WME03 יוני 2025 Q7). חוטים מ-P ל-A ($\lambda = mg$, טבעי $3L$) ול-B ($\lambda = 2mg$, טבעי $2L$), $AB = 7L$; איזון ב-E עם $AE = 4.5L$ (מתח כל חוט $= \tfrac{mg}2$ — הבדיקה שה-E היא אמיתית). בהזזה $x$ מ-E לכיוון B, החוט של B מתקצר והחוט של A מתארך:
ולכן P זז בתנועה הרמונית פשוטה, $\omega^2 = \tfrac{4g}{3L}$ והתקופה היא $\tfrac{2\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\tfrac{3L}g}$. שוחרר מ-C עם $AC = 5L$ עם משרעת $\tfrac L2$: $v_{max} = \tfrac L2\omega = \sqrt{\tfrac{gL}3}$. הזמן עם $|v| \le \sqrt{\tfrac{gL}{12}} = \tfrac{v_{max}}2$: עם $x = \tfrac L2\cos\omega t$ מהקצה, $v \propto \sin\omega t$ ו-$|\sin\omega t| \le \tfrac12$ מחזיקים לשליש מהתנודות בכל פעם, ולכן הזמן האיטי הוא $\tfrac13 \times \pi\sqrt{\tfrac{3L}g} = \pi\sqrt{\tfrac{L}{3g}}$.
תנועה במעגל אופקי
מהירות זוויתית $\omega$ (rad s⁻¹) עם $v = r\omega$; התאוצה המרכזית היא $r\omega^2 = \tfrac{v^2}r$, מופנית לכיוון המרכז. פצלו לכיוון המרכז עבור משוואת הכוח ואנכית לאיזון — מתלה קוני, חלקיק על שולחן הקשור בחוט, ומשטחים משופעים הם שלושת ההקשרים הסטנדרטיים.
דוגמה פותרת — מעגל על שולחן (WME03 יוני 2025 שאלה2). P (מסה $m$) על שולחן חלק, מחובר לנקודה O מעליו על ידי חוט באורך $a$ היוצר זווית של 30° עם השולחן, נע במ מעגל עם $\omega = \sqrt{\tfrac{g}{2a}}$. רדיוס המעגל הוא $a\cos30°$. כלפי המרכז: $T\cos30° = m(a\cos30°)\omega^2 = ma\cos30°\cdot\tfrac{g}{2a}$, ולכן $T = \tfrac{mg}2$. אנכית: $R = mg - T\sin30° = mg - \tfrac{mg}4 = \tfrac{3mg}4$.
תנועה במעגל אנכי
מעגל אנכי משלב אנרגיה ואת חוק ניוטון כלפי המרכז. השינוי באנרגיה קינטית שווה להפסד באנרגיה פוטנציאלית כבידתית ואלסטית כאשר אין העברות אנרגיה אחרות. משוואת אנרגיה זו משולבת עם חוק ניוטון לכיוון המרכז; תנאי העזיבה משטח הוא $R = 0$, על חוט $T = 0$. לאחר העזיבה, החלקיק הוא פרוקטייל: רכיב המהירות האופקי נשמר.
דוגמה מודגשת — עזיבת כדור (WME03 יוני 2025 שאלה5). P שוחרר ב-A על משטח חלק כדור (רדיוס $r$), OA במרחק $\alpha$ מעל האנכי; הוא עוזב בנקודה B, OB במרחק $\alpha$ מעל האופקי. (א) אנרגיה A→B: גובהו של A מעל O הוא $r\cos\alpha$ וגובהו של B מעל O הוא $r\sin\alpha$, לכן P יורד מ$r(\cos\alpha - \sin\alpha)$: $\tfrac12mv^2 = mgr(\cos\alpha - \sin\alpha)$, ונוצר $v^2 = 2gr(\cos\alpha - \sin\alpha)$. (ב) בנקודה B עם $R = 0$: $mg\sin\alpha = \tfrac{mv^2}r$ (המרכיב של משקל לעבר O); סינון $v^2$: $\sin\alpha = 2(\cos\alpha - \sin\alpha)$, so $\tan\alpha = \tfrac23$. (ג) לאחר מכן המרכיב האופקי $v\sin\alpha$ נשמר; באופקי העובר דרך O מהירותו מקיימת $\tfrac12mW^2 = mgr\cos\alpha$, ולכן $\cos^2\theta = \dfrac{v^2\sin^2\alpha}{W^2} = \dfrac{8}{78} = \dfrac4{39}$ — כלומר $\cos\theta = \tfrac2{\sqrt{39}}$.
מרכזי מסה על ידי אינטגרציה
עבור גוף סיבוב אחיד, $\bar x = \dfrac{\int_0^a xy^2\,dx}{\int_0^a y^2\,dx}$ (משקל הדיסקים הדקים לפי $\pi y^2\,dx$). תוצאת חצי-הכדור חייבת להיות מופקת ולא רק מצוטטת: עם $y^2 = a^2 - x^2$, $\int_0^a x(a^2 - x^2)dx = \tfrac{a^4}4$ ו $\int_0^a (a^2 - x^2)dx = \tfrac{2a^3}3$, שנותן $\bar x = \tfrac{3a}8$ מפני המישור הפנימי. גופים מורכבים: משקל את החלקים לפי מסה (רדיוס-מעוגן לגופים דומים) וקח מומנטים; חלקים שנותרו נושאים מסה שלילית. איזון הגוף הניצב: מרכז המסה נמצא אנכית מעל נקודת המגע.
דוגמה עבודה — חצי-כדור חרוט (WME03 יוני 2025 Q6). S הוא גוף חצי-כדור (רדיוס $a$) שבו נשלף חצי-כדור ברדיוס-$\tfrac a2$, הפנים המישוריים במישור אחד, מרכזים $O$ (גדול) ו-$C$ עם $OC = \tfrac a2$. מסות $8 : 1 : 7$ (רדיוסים מעוקבים); לאורך הציר $8\cdot\tfrac{3a}8 - 1\cdot\tfrac{3a}{16} = 7\bar y$, ולכן מרכז המסה של S נמצא ב $\tfrac{45a}{112}$ מקווי ה-OC העובר דרך O. מאונך ל-OC (מומנטים סביב ה- ציר הפנימי העובר דרך O): $8\cdot 0 - 1\cdot\tfrac a2 = 7\bar x$, ולכן $\bar x = \tfrac{a}{14}$. נוחה במעקום על פניה הכפופים, $\tan\theta = \dfrac{a/14}{45a/112} = \tfrac8{45}$.
רשימת בדיקה לפני סיום יחידה זו
- המרת $a = f(x)$ באמצעות $v\,dv/dx$ וסגירת קבועים מרגע נתון; השלמת האיגרציה השנייה בהפרדה משתנים או בהוצאת $x$.
- שימוש ב-$T = \lambda e/L$ ובאנרגיה אלסטית $\lambda e^2/2L$; עבור חוטים באמצע החבל, טיפול בכל חצי בנפרד; ביצוע שלושה שלבים בעיקרון עבודה-אנרגיה עם התנגדות לאורך מרחק.
- שילוב מומנטים עם חוק הוק למוטות מחוברים במאזן (תחילה גיאומטריה: הסטות אופקיות ואנכיות של נקודות ההיצמד).
- הוכחת תנודה הרמונית פשוטה על ידי נגזרת $\ddot x = -\omega^2 x$ (תחילה מתחי איזון), ולאחר מכן ציון תקופה, $v_{max} = a\omega$ והשברים הזמניים הסינוסואידליים.
- פירוק לכיוון המרכז ($r\omega^2$) ואנכי למעגלים אופקיים — תגובות שולחן, מטולון קוני, משטחים משופעים.
- למעגלים אנכיים: אנרגיה בין רמות, $R = 0$ (או $T = 0$) בנקודת השחרור, המשכת פרובוליף שמשתמרת בהרכבה האופקית.
- נגזרת מרכז המסה של כדור חצי על ידי איגרציה דיסקית; בניית מערכות מורכבות עם מסות סימן; סגירת מאזן מעוקם בתנאי מרכז המסה מעל נקודת המגע.