M1 · Mechanics 1

מכניקה 1 (M1, מסמך WME01/01, 1 שעות 30 דקות, 75 נקודות, הערכת ראשונה יוני 2019) היא היחידה האפליקטיבית במתמטיקה הבינלאומית AS: P1 ו-P2 נחשבים כנתונים. נקח $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ אלא אם כן נאמר אחרת, ותן תשובות לא מדויקות ל2 או ל3 ספרות משמעותיות. רפרנס זה מכסה הנחות דגם, וקטורים במכניקה, קינמטיקה בתאוצה קבועה, חוקי ניוטון עם חלקיקים מחוברים, תנע ואימפולס, חכוך, סטטיקה ומומנטים.

חובה לדעת עבור M1 (לא בספרטת הנוסחאות — יש לזכור):

המילים בגוף השאלה הן הוראות. חלקיק יש לו מסה אך אין לו גודל; **למינה יש לה שטח אך אין לה עובי; מוט יש לו אורך אך אין לו עובי; **גוף קשיח את צורה. אור פירושו חסר מסה; חוט אור לא טעון על גבי גלגלת חלקה יש לו אותו מתח לאורך כל אורכו. אחיד פירושו צפיפות קבועה, ולכן לג אחיד יש את מרכז המסה במרכזו. חוט אלסטי שאינו ניתן למתיחה שומר על אורכו קבוע; חוט מתוח על גבי גלגלת אחת קבועה מקשר בין גדלי מהירות הקצוות, ו-משטח חלק מול משטח מחוספס קובעים האם שורר חיכוך. גלגלת קלה וחלקה משנה כיוון של מתח אך לא גודלו. ציינו ההנחה שאתם משתמשים בה – "חלק, לכן אין חיכוך" – כי הערכים נתונים בדגם כמו במ אלגברה.

הזזות, מהירויות, תאוצות וכוחות הם וקטורים: $(3\mathbf i - 4\mathbf j)$ יש לו גודל $5$ וכיוון $\tan^{-1}(-4/3)$ מהציר ה-$x$ החיובי. פיצוץ לקומפוננטות, עבוד בקומפוננטות, ואחד בסוף. הרוכבת של $\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_2\\b_2\end{pmatrix}$ היא $\begin{pmatrix}a_1+a_2\\b_1+b_2\end{pmatrix}$. עם $\mathbf i$ מזרח ו-$\mathbf j$ צפון, נקודה מצביע דרום-מערב, ב$-5\mathbf i - 12\mathbf j$ מערב לדרום טהור, ולכן הנושא שלו הוא מוצפת דרום-מערב, ב-$\tan^{-1}(5/12) = 22.6°$ מערב מדרום מלא, ולכן המסלול שלה הוא $180 + 23 = 203°$.

דוגמה פתורה — וקטורי מיקום ומסלולים (WME01 יוני 2025 שאלה2). חלקיק A בעל $\mathbf r_A(2) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j)$ ו-$\mathbf r_A(5) = (10\mathbf i + 4\mathbf j)$. מהירות $= \dfrac{\Delta\mathbf r}{\Delta t} = \dfrac{15\mathbf i - 12\mathbf j}3 = 5\mathbf i - 4\mathbf j$, ולכן $\mathbf r_A(t) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j) + (t-2)(5\mathbf i - 4\mathbf j) = (5t-15)\mathbf i + (24-4t)\mathbf j$. With B at $\mathbf s_B = -5\mathbf i + 7\mathbf j + t(2\mathbf i - 3\mathbf j)$, at $t = 5$: $\overrightarrow{AB} = (5\mathbf i - 8\mathbf j) - (10\mathbf i + 4\mathbf j) = -5\mathbf i - 12\mathbf j$, bearing $203°$.

תאוצה קבועה פירושה שהנוסחאות suvat חלות בכל שלב; הנושא הוא סימנים. בחרו כיוון חיובי, כתבו $s, u, v, a, t$ עם הסימנים המתאימים לכל שלב, ובחרו בנוסחה ש נמנעת מהגודל הלא נדרש. גרפים: בגרף מהירות–זמן הנטייה היא התאוצה והשטח הוא הזזה (שטח מתחת לציר נחשב לשלילי); בגרף מהירות–זמן המהירות אינה יכולה להיות שלילית, ולכן תנועה כלפי מעלה ולאחר מכן כלפי מטה נראית כמו V.

דוגמה פותרת — למעלה ומטה (WME01 יוני 2025 Q3). כדור משוגע אנכית כלפי מעלה מאינק A, במרחק 12 m מעל הקרקע בנקודה B, ונמשך 4 s כדי להגיע ל-B. בהנחה כי כלפי מעלה הוא החיובי ועם $A$ כראשית המערכת, $s = -12$: $-12 = 4U - 4.9(16)$, ולכן $U = 16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ (2 ספרות משמעותיות 17). המהירות על הקרקע: $v^2 = 16.6^2 + 2(9.8)(12) = 510.8$, ולכן $v = 22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. גרף המהירות–זמן הוא V: ירידה מ16.6 לאפס בנקודה העליונה (לאחר $16.6/9.8 = 1.7$ שניות), ואז עולה ל-22.6 ב-$t = 4$ — הרגל היורדת היא ארוכה יותר ועולה למהירות גבוהה יותר; לשתי הרגליים יש שיפוע בגודל $g$.

החוק השני של ניוטון, מיושם בכיוון אחד לאורך קו: $F_{\text{net}} = ma$ עבור כל הכוחות המופרדים והמוסיימים. עבור שני חלקיקים מחוברים על חוט קל ולא אלסטי, יש לכתוב משוואת תנועה לכל גוף בנפרד (אותה מתח, אותה גודל מהירות), ולאחר מכן לבטל את $T$. על משטח משופע יש לפרק לאורך ולעומת השיפוע; $\tan\theta = 3/4$ פירושו $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$.

דוגמה פתורה — שני חבלים על סירה (WME01 יוני 2025 שאלה4). כוחות של 800 N בזווית $25°$ מעל את קו התנועה ו-500 N ב-$\alpha$ מתחתיו מושכים סירה ישר לאורך התעלה. בניצוב לכיוון התנועה אין תאוצה: $800\sin25° = 500\sin\alpha$, ולכן $\sin\alpha = 0.676$ ו-$\alpha = 43°$. לאורך התנועה, עם מסה 15000 ק"ג והתנגדות 750 N: $800\cos25° + 500\cos\alpha - 750 = 15000a$, מה שמניב $a = 0.023\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ — נדרשים תשובות בעלות שלוש ספרות אחרי הנקודה כאשר המספרים קטנים כל כך.

דוגמה פתורה — גלגלת, מתחילתה ועד סופה (WME01 יוני 2025 שאלה8). כדורי P (מסה $kM$) ו-Q (מסה $3M$, $k < 3$) תלויים מעל גלגלת קבועה קלה וחלקה ומאיצים ב-$\tfrac g5$. משוואות התנועה: $T - kMg = kM\cdot\tfrac g5$ (P כלפי מעלה) ו-$3Mg - T = 3M\cdot\tfrac g5$ (Q כלפי מטה). ביטול $T$: $3Mg - kMg = \tfrac{g}5(3M + kM)$, ולכן $5(3-k) = 3+k$ ו-$k = 2$. החוט מושך את הגלגלת כלפי מטה בכוח $2T$: עם $M = 0.5$ ק"ג, כוח של $T = 1(9.8 + 1.96) = 11.76$ N, ולכן הכוח הוא $23.5$ N. כאשר Q נוחת אחרי נפילה בגובה 2.5 מ', מהירותה היא $\sqrt{2\cdot\frac g5\cdot2.5} = \sqrt{g} = 3.13$; אם היא קופצת בחזרה במהירות $0.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, האימפולס על Q הוא $1.5(3.13 + 0.4) = 5.3$ N s. לאחר כך P מתנדדת כלפי מעלה בפעולת כובד בלבד במשך $\tfrac{\sqrt g}g = 0.32$ שניות לאחר $5/\sqrt g = 1.60$ שלב הנחה: זמן כולל עד מנוחה $\approx 1.9$ שניות.

תנע $mv$ ואימפולס $I = mv - mu$ הם חתומים לאורך הקו. חוק השלישי של ניוטון גורם לכך ש- האימפולס המופעל על כל אחד משני הגוף ההתנגשים שווה בגודלו וניגוד בכיוונו — השתמש באחד מהם, ולא בשניהם. התנגשות ישירה: שימור תנע $m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$ דורש סימנים עקביים; גמישות אינה מופיעה ב-M1.

דוגמה פתורה — תנועה על שני הגוף (WME01 יוני 2025 שאלה1). P (מסה $km$, מהירות $5u$) תופס את Q (מסה $3m$, מהירות $2u$); לאחר מכן P ממשיך קדימה ב-$2u$ ו-Q ב-$v$. הת תנועה על Q היא $4.5mu$: $3m(v - 2u) = 4.5mu$, ולכן $v = 3.5u$. התנועה על P שווה בגודלה ומנוגסת בסימה: $km(5u - 2u) = 4.5mu$, ולכן $k = 1.5$.

על משטח מחוספס כוח המגע מתפרק ל-תגובה נורמלית $R$ (אנכית) ולחיכוך $F$ (לאורך, נגד התנועה או מגמתה). בתנועה: $F = \mu R$ עם $\mu$ מקדם החיכוך. במצב איזון $F \le \mu R$, עם שוויון באיזון סף — הביטוי "בסכנת הזזה" מאפשר $F = \mu R$.

דוגמה פתורה — חבילה על משטח משופע מחוספס (WME01 יוני 2025 שאלה6). עם $\tan\theta = \tfrac34$ ו-$\mu = \tfrac14$ יהיו מאונכים, $R = mg\cos\theta = \tfrac45mg$; לאורך (מעלה חיובי, מאטה): $-mg\sin\theta - \tfrac14R = ma$, ולכן $a = -g(\tfrac35 + \tfrac15) = -\tfrac45g$ — ההאטה היא $\tfrac45g$, והתשובה חייבת להישאר כשבר מדויק של $g$. מוחזקת במקום על המשופע על ידי כוח $X$ לאורך המדרון (מסה 2 ק"ג): $X + \tfrac14(2g\cdot\tfrac45) = 2g\cdot\tfrac35$, ולכן $X = \tfrac45g = 7.84$ N.

חלקיק נמצא במצב איזון כאשר הכוח השקול הוא אפס: פירוק בשני כיוונים מאונכים והגדרת סכומי הכוחות לאפס, או ציור משולש וקטורים סגור. כוח המשיכה $mg$ כלפי מטה, כוח תגובה נורמלי מאונך לפני השטח, מתח לאורך חוט רחוק מהגוף (דחיפה לאורך מוט דוחפת), חיכוך לאורך הפני שטח הנגד להחלקה. על קרקע מחוספסת בשקט, $F$ הוא ערך כלשהו המסוגל לסגור את הפוליגון, אך אינו עולה על $\mu R$.

דוגמה פותרת — כוחות באיזון (מקורי). חלקיק בעל משקל 50 N תלוי בשני חוטים קלים בזוויות $40°$ ו$60°$ לציר האנכי. פירוק אופקי: $T_1\sin40° = T_2\sin60°$; אנכי: $T_1\cos40° + T_2\cos60° = 50$. מהמשוואה הראשונה, $T_2 = 0.742T_1$; ולאחר מכן $T_1(0.766 + 0.371) = 50$, ולכן מתחים של $T_1 = 44$ N ו$T_2 = 33$ N (2 s.f.).

ה-מומנט של כוח סביב נקודה הוא כוח כפול המרחק המאונך, עם סימן בהתאם ל כיוון הסיבוב. לגוף קשיח באיזון המומנט השקול סביב כל נקודה הוא אפס — לכן בחרו ב ציר הסיבוב שמבטל את הכמויות הלא ידועות הרבות ביותר. "על סף התהפכות סביב X" משמעותו שהתגובה בנקודות אחרות אפסה והמומנטים מחושבים סביב X.

דוגמה פותרת — מוט על מדף (WME01 יוני 2025 שאלה 5). מוט לא אחיד AB באורך $3a$ נוח על מדף אופקי כאשר הקצה נמצא ב-C, $AC = 2a$, ומרכז הכובד נמצא ב-$d$ ממיקום A. כוח כלפי מעלה כוח $P$ ב-B מטיל אותה סביב A: מומנטים סביב A נותנים $3aP = Wd$. כוח יורד $1.25P$ ב-B גורם להתהפכות סביב C: $1.25Pa = W(2a - d)$. הצבה של $P = \tfrac{Wd}{3a}$ (ביחידות של $a$): $1.25\cdot\tfrac d3 = 2 - d$, ולכן $1.25d = 6a - 3d$, מה שמניב ערכים של $4.25d = 6a$ ו $d = \tfrac{24a}{17}$. הלקח: לכל מקרה התהפכות יש ציר סיבוב משלו, ורק המומנט של המשקל נשמר ללא שינוי בין המקרים.

• ציין את ההנחות המודליות הקיימות (חלקיק, מוט קל, חוט בלתי נמתח, חלק/מחוספס) וצין מה כל אחת מאפשרת לך.
• עבד עם וקטורי מיקום ומהירות רכיבית; המר כיוונים למספרי זיזים; מצא מיקומים יחסיים בזמן משותף.
• פתר בעיות סופאט חד-שלביות ורב-שלביות עם סימנים קבועים לכל שלב; קרא שיפועים ושטחים ממגרפי תנועה; שרטט גרף מהירות-זמן V לתנועה מעלה-מטה.
• הור $F = ma$ על כל גוף לאורך קו התנועה; טפל בחלקיקים מחוברים על גבי גלגלת במשוואות זוגיות; מצא את הכוח על הגלגלת כ$2T$.
• השתמש בדחיפה-תנע בגוף אחד מזוג ההתנגשות; שמור על תנע עם סימנים עקביים.
• חלק כוחות מגע ל$R$ ול$F$; הור $F = \mu R$ כאשר נעים או בגבול; פירק במישורים משופעים באמצעות $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$ עבור $\tan\theta = 3/4$.
• סגור פוליגוני כוחות לשיווי משקל בשני כיוונים; הגבל חיכוך סטטי ל$\mu R$.
• לקח רגעי סביב ציר הסיב שמסיר אי-ידועים; החלף צירים כאשר נקודת ההתהפכות משתנה.