סטטיסטיקה

AQA GCSE מתמטיקה 8300 נושא 3.6 (תוכנית לימודים גרסה 1.0, 12 ספטמבר 2014, מבחנים ראשונים 2017). שורות S1–S6 מופיעות בשלושה רמות; התוספת לרמות הבסיסיות היא היסק תכונות מאוכלוסיות מדגימה בעוד (S1); שורת הרמה הגבוהה בלבד היא היסטוגרמות עם רווחים שווים ולא-שווים נתוני סדרה (S2); שורת הרמה הגבוהה בלבד היא היסטוגרמות עם רווחים שווים ולא שווים רווחי מחלקה וגרפים של תדירות מצטברת (S3), עם תרשימי קופסה, רביעיות ומרווח הרבעונים כהוספה לרמת ההצלחה ב-S4. מבחן יוני 2024 רמת ההצלחה מספק נקודות עגינה מאומתות למטה.

חובה לדעת לנושא 3.6:

להסיק תכונות של אוכלוסיות או חלוקות מדגימה, תוך ידע במגבלות הדגימה (S1, תוספת לבסיס): דגימה היא תת-קבוצה; מרץ מכסה את כל האוכלוסייה; בחירה אקראית מפחיתה הטיית בחירה אך לעולם אינה מסלקת משתנות דגימה או חוסר תגובה. מתוך דגימה אקראית של 80 תלמידים, 24 הולכים בהליכה: פרופורציה $\tfrac{24}{80} = 0.3$, הנחלתה לבית ספר בגודל 600 מעלה השערה לגבי 180 הולכים — הערכה, לא ספירה. נוחות ממועדון ספורט מייצגת יתר על המידה תלמידים פעילים; סקירת רשת וולונטרית מפספסת תושבים שאינם מגיבים, ללא קשר לכמות התשובות שהתקבלו. יש להפעיל סטטיסטיקה תאר אוכלוסייה (S5): ציין מה הדוגמה תומכת ומה עשוי להפריע לכך. אקסטרפולציה לא אמינה. יש להכיר את המונחים נתונים ראשוניים, נתונים משניים, נתונים בדידים ומעריכים נתונים רציפים (מספר אחים הוא בדיד; זמן נסיעה הוא רציפי גם כאשר נמדד בדקות שלמות).

לפרש ולבנות טבלאות, גרפים ותרשיםים (S2): טבלות תדירות, גרפי עמודות, גרפי גרף עמודות, גרף עוגיות ופיטוגרמים עבור נתונים קטגוריאליים, קו אנכי דיסקרטיים לא מקבוצות — ובשלב הבסיס הנוסף, טבלאות וגרפי קו עבור נתוני סדרות זמן — תוך היכרות בשימוש המתאים להם, כולל בחירת תרשימים סטטיסטיים מתאימים. זווית כולל בחירת גרפים סטטיסטיים מתאימים. זווית מלבן בגרף עוגה היא ברכבת ו$\tfrac fn \times 360^\circ$ רוכבי אופניים, הזוויות הן 40, 10, 15. סדרות זמן 15 אופניים, הזוויות הן $90^\circ$, $135^\circ$, $135^\circ$. סדרת זמן נדרש בסדר ומחובר נקודה-נקודה; גרף פיזור לעולם אינו מחובר סדר התצפיות.

דוגמה פותרת: 3H יוני 2024 שאלה8, משוללת. טבלה של שש ערכים בעלת ממוצע $(8 + 9 + 9 + 6 + 9 + 10) \div 6 = 8.5$; מרחב זוויתי של 162° בגרף עוגה הוא $\tfrac{162}{360} \times 100 = 45\%$. שאלה המשלבת "ארבע פעמים ה ממוצע" עם אחוז: $4 \times 8.5 + 45 = 34 + 45 = 79$.

גבוה (S3): בנה ומפרש גרפים לנתונים דיסקרטיים מקבוצתיים ול נתונים רציפים — היסטוגרמות עם רווחי מחלקה שווים ולא שווים ו גרפי תדירות מצטברת. שטח ההיסטוגרמה שווה לתדירות, ולכן הגובה (צפיפות) הוא תדירות ÷ רוחב מחלקה: מחלקות $0 \le x < 10$, $10 \le x < 20$, $20 \le x < 40$ with frequencies 20, 30, 20 have densities 2, 3, 1 — the wide last bar is הקצרה ביותר אך עדיין מכילה 20. גרף תדירות מצטברת מצייר כל גבול עליון של מחלקה מול הסכום המצטבר, החל מאפס: עבור מחלקות אלו הנקודות הן $(0,0)$, $(10,20)$, $(20,50)$, $(40,70)$; הממוצע הקריטי נקרא ב 35, המעניק $10 + \tfrac{35-20}{30} \times 10 = 15$. ערכים בתוך מחלקות הם הערכות אינטרפולציה.

דוגמה פותרת: רמת גבוהה. מאותו גרף ($n = 70$): $Q_1$ קורא ב $17.5$ — $10 \times \tfrac{17.5}{20} = 8.75$; $Q_3$ קורא ב-$52.5$ — $20 + \tfrac{52.5-50}{20} \times 20 = 22.5$; so $IQR = 22.5 - 8.75 = 13.75$. 'כמה מעל 25?' קורא ב-25: $50 + \tfrac{5}{20} \times 20 = 55$, ולכן $70 - 55 = 15$ — הגרף משיב על שאלות ספירה שהטבלא אינה עונה עליהן.

פרש,נתח ושווה חלוקות של מאגרי נתונים מ-ערכים יחידים התפלגויות אמפיריות באמצעות היצגות גרפית מתאימה ו מדדי מרכזיות מתאימים — חציון, ממוצע, מודוס וקבוצה מודאלית — ותפוצה: טווח, כולל שיקול של ערכים קיצוניים (S4). מטבלה תדירות, הממוצע הוא $\tfrac{\sum fx}{\sum f}$: ערכים 1, 2, 3 עם תדירויות 2, 5, 3 נותנים $\tfrac{2 + 10 + 9}{10} = 2.1$; נתונים מקובצים משתמשים ברחבי המחלקה, ולכן התוצאה היא הערכה. הערך הלא רגיל ב-2, 4, 4, 6, 24 מרים את הממוצע ל-8 בעוד שהחציון נשאר 4.

דוגמה מפורטת: 2H יוני 2024 שאלה13, מותאם. טבלת אורכים: 15 ערכים של 7.2, 18 של 7.6 ו-7 של 8 נותנים $\sum fx = 108 + 136.8 + 56 = 300.8$; ממוצע $= 300.8 \div 40 = 7.52$ — שמור על המכפלות מדויקות (הערכות $fx$ ערכים אבדו את סימן הנקודות).

החלק הגבוה מוסיף גרפי קופסאות, רבעונים וטווח הרבעונים: גרף קופסה מציין מינימום, $Q_1$, ממוצע, $Q_3$, מקסימום; $IQR = Q_3 - Q_1$ מתאר את החצי האמצעי. השוו את הממוצע ערך אופייני וה-IQR ל עקביות, בהקשר, עם יחידות.

דוגמה פותרת: 2H יוני 2024 שאלה16, משוללת. תיבת-מקל עם הקצר מינימלי 2.4 ס"מ, רביע נמוך 4 ס"מ, ממוצע 6 ס"מ, רביע עליון 7 ס"מ ו ערך מקסימלי 9 ס"מ — חמישה נקודות, מלבן אחד עם זנבות.

דוגמה פותרת: 1H יוני 2024 שאלה16, משוללת. גילי שני מועדונים: "ה הממוצע במועד הבריכה נמוך יותר, ולכן הממוצע שלו נמוך יותר" AND "הטווח הרבעונים במועד הבריכה גבוה יותר, ולכן הגילים שלו פחות עקביים" — השוואה דורשת גם טענת ממוצע וגם טענת פיזור.

*אותו ממוצע 8; ל-B יש IQR קטן יותר (4 לעומת 6) אך טווח גדול יותר

השתמש ופרש גרפי פיזור של נתונים דו-משתנים (S6): זיהה חיובי, מתאם שלילי, אין מתאם, מתאם חלש וחזק; ידע בסיסי נוסף כולל מתאם אינו מצביע על קשר סיבתי; שרטוט קווי התאמה משוערים באמצע הדפוס (איזון נקודות, לא בהכרח דרך הראשית) וביצוע תחזיות; אינטרפולציה ואקסטרפולציה של מגמות apparent תוך ידע בסכנות. שעות לימוד 1–5 מול ציונים 44, 49, 53, 58, 61 עם קו $\hat y = 40 + 4.5x$: תחזית ב-$x = 3.6$ היא אינטרפולציה ($\hat y = 56.2$); ב-$x = 10$ הקו מספק 85, אך השגים עשויים להישטח — ציינו את טווח הקלט הנצפה בכל תחזית.

• דגימות מול מפקד; מסקנות לגבי אוכלוסיות עם הגבלות מצוינות; נתונים ראשוניים/שניוניים, דיסקרטיים/רציפים (S1, S5).
• טבלאות תדרים, גרפי עמודות/עוגה/פיקטוגרם, גרפי קווים אנכיים, טבלאות סדר זמן וגרפי קווים; בחירת דיאגרמות מתאימות (S2; Q8 anchor).
• היסטוגרמים עם רוחבים שווים ושונים (שטח = תדר, צפיפות = f ÷ רוחב) וגרפי תדר מצטבר בגבולות (S3).
• ממוצע מטבלאות עם מכפלות מדויקות; ממוצע/מוד/קבוצת מוד; טווח והתפרצויות; גרפי קופסה, רבעונים, IQR; השוואות בין ממוצע ל-IQR (S4; Q13, Q16, 1H Q16 anchors).
• גרפי פיזור: סוגי מתאם וחוזקו; מתאם אינו סיבה; קווי התאמה משוערים; אינטרפולציה בטוחה, אקסטרפולציה מסוכנת (S6).

הערות גבול: אין נושא זה בדף הנוסחאות המצורף — יש להכיר את הקשרים בין ממוצע, טווח, זווית עוגה וצפיפות. השוואות מציינות ממוצע AND התפלגות עם הקשר ויחידות. דוגמאות מעובדות מותאמות מבחינות June 2024 Higher (ראו את העדויות להערכה במטא-נתונים) או מקוריות.