יחס, פרופורציה וקצבי שינוי

מתמטיקה GCSE AQA 8300 נושא 3.3 (מפרט גרסה 1.0, 12 ספטמבר 2014, הבחינות הראשונות2017). שורות בסיס R1–R16 פועלות בשלושה רמות; התוספות לרמה גבוהה בלבד הן יחידות מורכבות (צפיפות, לחץ) בהקשרים מספריים וגם אלגבריים הוספות הן יחידות מורכבות (צפיפות, לחץ) בהקשרים מספריים וגם אלגבריים (R1), עבודה באחוזים מעל 100% ובעיות ערך מקורי (R9), $k : k^2 : יחסי דמיון k^3$ (R12), בניית משוואות ליחס ישיר והפוך (R13), קצב שינוי מיידי כשיפוע המשיק (R15), וכללי תהליכים איטרטיביים מעבר לריבית מורכבת (R16). סט יוני 2024 הגבוה מספק עוגנים מאומתים למטה.

חובה לדעת לנושא 3.3:

שנוי בחופשיות בין יחידות סטנדרטיות הקשורות זו לזו (זמן, אורך, שטח, נפח/קיבולת, מסה) ויחידות מורכבות (מהירות, תשלום בשעה, מחירים) בהקשרים חשבונאיים; הבסיס הנוסף מוסיף צפיפות ולחץ, והסט הגבוה עוסק בהם בהקשרים חשבונאיים AND אלגבריים — צילינדר בעל נפח $V = 2x^3$ ומסה $m = 5x^2$ בעל צפיפות $\tfrac{5x^2}{2x^3} = \tfrac{5}{2x}$.

סימון פרופורציונליות מצטמצם לצורה המינימלית ($45 : 60 = 3 : 4$); הביעו כמות אחת כ שבר של אחרת (שבר למעלה או למטה 1); חלקו כמות לפי חלק : חלק או יחס חלק : כולל — £350 ב-$2 : 5$ נותן £100 ו-£250. ביטוי מכפיל כפרופורציונליות או שבר (R6); פרופורציה כאי-שוויון של יחסים (R7); קשרו יחסים לשברים ולפונקציות LINEAR (R8: השיטה היחידנית וה-$y = kx$ הם אותה סולם). יישמו פרופורציונליות להקשרים אמיתיים — המרה, השוואה, קנה מידה, ערבוב, ריכוזים, בעיות ערך טוב יותר/רכישה משתלמת (R5): השוו מחיר ליחידה לפני קבלת החלטה.

דוגמה מפורטת. קניית משתלמת: שקית בגודל 2.5 ק"ג עולה £6.40 (מחיר יחידה £6.40 ÷ 2.5 = £2.56/ק"ג) לעומת קופסה של 400 גרם העולה £1.12 (£1.12 ÷ 0.4 = £2.80/ק"ג) — השקית הגדולה היא משתלמת יותר, וההשוואה תקפה רק כאשר שניהם במחיר ליחידת ק"ג. ציינו את מחירי היחידה: המבקר רוצה לראות את פעולת החילוק, לא רק את הבחירה.

אחוז הוא חלקים ממאה; פרשנו אחוזים ועריכות אחוזים כ שברים/עשרוניים ובאופן כפלי (R9). נוספת ברמה הבסיסית: ביטוי כמות כאחוז מאחרת, השוואה בין שתי כמויות, חישוב מעל 100%, גידול/ירידת אחוזים, בעיות ערך מקורי וריבית פשוטה. ה מכפיל המשמעות: +12% זה ×1.12; −17% זה ×0.83; ערך מקורי מתקבל בחלוקת הערך הסופי במכפיל.

דוגמה מופרזת: 2H יוני 2024 Q2, מותאם. אוכלוסיית עיר ירדה ב-12% ויצאה ל- 2200. ערך מקורי $= 2200 \div 0.88 = 2500$. בדיקת המכפיל של המבקר עצמו: $2{,}200{,}000 \div 0.88 = 2.5 \times 10^6$ בצורה סטנדרטית — אותו חילוק, מספרים בקנה מידה מוגדל.

פתרון בעיות פרופורציונליות ישירות והפוכות באמצעות גרפים ואלגברה ייצוגים (R10). רמה גבוהה מפרשתת ויוצרת משוואות המתארות יחס proportion (R13): $X \propto Y$ מתקיים כאשר $X = kY$; $X$ פרופורציונלי הפוך ל-$Y$ פירושו $X = k/Y$. אם $y \propto x^3$ עם $y = 24$ ב-$x = 2$, אז קבוע היחס הוא $k = 3$; אם $p \propto \tfrac1{x^2}$ עם $p = 8$ ב-$x = 2$, אז $k = 32$ ו-$p = \tfrac{32}{x^2}$. זיהוי ופרשנות גרפים: יחס ישיר הוא קו ישר העובר דרך הראשית (חזקות גבוהות מעלות עקומה כלפי מעלה); יחס הפוך הוא עקומה בצורת הופכי (R14 מקשר בין שיפוע קו ישר לשיעור שינוי).

שימוש במדדים מורכבים — מהירות, תעריפי שכר, מחיר ליחידה (בסיס נוסף); צפיפות ולחץ (R11), כולל השוואות. מסע של 234 ק"מ בזמן של 2 שע' 36 דק' מתווך $234 \div 2.6 = 90$ קמ"ש; £9.20/שעה עבור 7.5 שעות משלם £69; השוואות מחירי מיטב חלקו מחיר בכמות והשוויו כמו-לכמו.

שימוש בגורמי קנה מידה, תרשימים בקנה מידה ומפות (R2, כולל בעיות גיאומטריות). השוואת אורכים, שטחים ונפחים באמצעות סימון יחס וגורמי קנה מידה (R12): אורכים $k$ : גורמי קנה מידה לשטח $k^2$ : נפחים $k^3$, עם קישורים לחפיפה כולל יחסים טריגונומטריים; ברמה הגבוהה נדרש רמת $k : k^2 : k^3$ בבעיות — פסלים דומים בגובה $3 : 5$ ישנם בנפח ביחס $27 : 125$, ולכן פסל בגובה 216 ס"מ³ קטן יותר מתאים לגודל של $216 \times \tfrac{125}{27} = 1000$ ס"מ³.

פרש את השיפוע של גרף קו ישר כקצב שינוי (R14) — בגרף מרחק-זמן זה מהירות; בגרף מהירות-זמן השיפוע הוא בגרף מרחק-זמן זה מהירות; בגרף מהירות-זמן השיפוע הוא תאוצה והשטח הוא המרחק. רמות גבוהות (R15) קוראות את השיפוע בנקודה נתונה עלייה/ירידה — ומיישמים קצבים ממוצעים (מיתר) ומיידיים (מגע) ב קשרים מספריים, אלגבריים וגרפיים. במסגרות מספריות, אלגבריות וגרפיות.

הגדר, פתר ופרש בעיות גידול ודעיכה הכוללות ריבית מורכבת (R16): $A = P\left(1 \pm \tfrac r{100}\right)^n$. £2000 בריבית מורכבת של 3% למשך 4 שנים גדל ל-$2000 \times 1.03^4 = £2251.02$; רכב בשווי £12000 שמפסיד 15%/שנה יורד ל- $12000 \times 0.85^3 = £7369.50$.

דוגמה מופרזת: 2H יוני 2024 Q10, מותאם. בית בשוויה של £90000 עלה ב-3% ולאחר מכן 8%: $90000 \times 1.03 \times 1.08 = £100116$ — מעל £100000, לכן כן. הממו דרך הכפלה: $1.03 \times 1.08 = 1.1124 > 1.111\ldots = 100000/90000$. רמות גבוהות מוסיף תהליכים איטרטיביים כלליים: $x_{n+1} = f(x_n)$ מחזורי חזרה על עצמם percentages — a quantity gaining 5% each cycle iterates $x_{n+1} = 1.05x_n$, and the limit (if any) solves $x = f(x)$. Interpret answers in context: round sensibly and ציין את היחידה.

*Bₙ₊₁ = 1.1B + 50: 1000, 1150, 1315, 1496.5, ולכן הוא חוצה לראשונה את 1400 לאחר 3 שנים

• המרות יחידות ויחידות משולבות כולל צפיפות ולחץ, אלגברה ברמה גבוהה (R1, R11).
• גורמי קנה מידה, דיאגרמות ומפות (R2); כמויות כשברים; סימון יחס, חלוקה, בעיות מהחיי האמיתיים ורכישות הטובות ביותר (R3–R5).
• קשרים מכפילתיים כיחס/שבר; פרופורציה כאי-שוויון בין יחסים; יחסים לשברים ולפונקציות ליניאריות (R6–R8).
• מכפילי אחוזים כולל מעל 100%, שינוי, ערך מקורי, ריבית פשוטה (R9; Q2 אנקור).
• נטיות כקצבי שינוי; קורדים (ממוצע) ומשיקים (רגעי) כקצבים (R10–R13).
• יחסים בין אורך : שטח : נפח 14 עם קישורים לדמיון (R15).
• צמיחה ודעיכה כולל ריבית מורכבת; תהליכים איטרטיביים כלליים עם פרשנות (R$k : k^2 : k^3$; Q12 עוגן).
• צמיחה ודעיכה כולל ריבית מורכבת; תהליכים איטרטיביים כלליים עם פרשנות (R16; Q10 אנקור).

חייבות להציג מחיר ליחידה; תהליכי איטרציה ברמה הגבוהה כוללים בדיקות התכנסות. דוגמאות חובה להראות מחיר ליחיד; תהליכי איטרציה ברמה גבוהה כול בדיקות התכנסות. דוגמאות עבורות נלקחו מבחינות June 2024 ברמה גבוהה (ראה את עדות ההערכה של המטא), או מקוריות. evidence) or original.